【练30】已知函数
f?x???a2?1?x2?2?a?1?x?2的定义域和值域分别为R试分别确定满足
条件的a的取值范围。答案：（1）a应用程度。
?1或a??3（2）?3?a?1或a??1
【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活
1125)(b+)≥.
ba411【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+和 b+不能同时取得等号，本题可有如下证
ba例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab
11或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证. 441111证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜
2222≤
111122(?t1)2?1(?t2)2?1(?t1?t1?1)(?t2?t2?1)11a?1b?14?(a?)(b?)???2?2?41111abab?t1?t2(?t1)(?t2)222225322511542222?t2?t2(?t1?t1?1)(?t2?t2?1)(?t2)2?t2254?4?4?162?16?.11114222?t2?t2?t2444422显然当且仅当t=0，即a=b=
1时，等号成立. 21ab，∴ab≤
4证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2
1125a2?1b2?1254a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab41证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤.
425??2(1?ab)?1??139??(1?ab)2?125 16?2?1?ab?1???(1?ab)??????14416?ab4 ?4???ab??1125 即(a?)(b?)?ab4证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，
?) 21111sin4??cos4??2sin2?cos2??222(a?)(b?)?(sin??)(cos??)?absin2?cos2?4sin22?4?2sin22??16?25?22(4?sin?)?16?22??sin2??1,?4?sin2??4?1?3.?114sin22???sin22?4?(4?sin22?)2251125??即得(a?)(b?)?.4ab44sin22?
【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
【练31】数列
?x?由下列条件确定：xn1?a?0,xn?11?a????xn??,n?N?
?2?xn?（1） 证明：对于n?2总有xn?a,（2）证明：对于n?2，总有xn?xn?1. 【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。 且x?f(x)?f(x)满足f(?1)?0，
例32、已知二次函数
12(x?1)对一切实数x恒成立. (1)2求
f(1)； (2)求f(x)的解析式；(3)求证：?i?1n12n?(n?N). f(k)n?2【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。
解：（1）由已知令
x?1得： 1?f(1)?12(1?1)?1?f(1)?1. 2（2）令
f(x)?ax2?bx?c(a?0)由f(?1)?0,f(1)?1得：
111112?a?b?c?02?b?,c??af(x)?ax?x??ax?f(x)?(x?1)即则?22222a?b?c?1?1?21ax?x??a?0?对任意实数x恒成立就是 ?对任意实数恒成立，即： 22?(1?2a)x2?x?2a?0??a?0,1?2a?0?12111211???(2a?)?0则 ?a?,c?f(x)?x?x??1244424?2???2?(4a?1)?0（3）由（2）知
f(x)?1441??(x?1)2 故 f(k)(k?1)2(k?1)(k?2)4n1111111?4(?????)?? ?4(2334k?1k?2i?1f(k)?11?)?
n?1n?2?2n故原不等式成立． n?2【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。 【练32】）已知二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a,b,c?R)，满足f(?1)?0；且对任意实数
x
都有
当x?(0,2)时有f(x)?x?0；
(x?1)2f(x)?,（1）求f(1)的值；（2）证明a?0,c?0;4（3）当（1）
x?[?1,1]时，函数g(x)?f(x)?mx(m?R)是单调的，求证：m?0或m?1.
f(1)?1.（2）运用重要不等式（3）略
【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例33、记
f?x??ax2?bx?c，若不等式f?x??0的解集为?1,3?，试解关于t的不等式
f?t?8??f?2?t2?。
【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程ax2?bx?c?0的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在?2,???上是增函数。
解析：由题意知
f?x??a?x?x1???x2??a?x?1??x?3?，且a?0故二次函数在区间?2,???
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(3)
