19?3?（1）证明：∵椭圆C经过点?1,?，∴2?2?1，
?2?a4b229?2859b29a285?19b9a121 2?2?2??2∴a?9b??2?2??a?9b??，??224b?4a4b?a4a4b4229b29a222当且仅当2?，即时，等号成立， a?2b2a4bb22.
此时椭圆C的离心率e?1??a22（2）解：∵椭圆C的焦距为2，∴a2?b2?1，又
19??1，∴a2?4，b2?3. 22a4b当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设M?x0,x0?，N?x0,?x0?.
2212x0x02x?∵M，N在椭圆C上，∴∴，，∴O到直线MN的距离??10743d?x0?12221. ?77当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y?kx?m.
?y?kx?m?222由?x2y2，得?3?4k?x?8kmx?4m?12?0，
?1??3?4???8km??4?3?4k2??4m2?12??0.
28km4m2?12. 设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则x1?x2??，x1x2?223?4k3?4k∵OM?ON，∴x1x2?y1y2?0，
∴x1x2??kx1?m??kx2?m??k?1x1x2?km?x1?x2??m?0，
22??4m2?128k2m22227m?12k?1?， ∴?k?1??，即??m?0?223?4k3?4k2∴O到直线MN的距离d?m1?k2?12221. ?771222122，故存在定圆O：x?y?，
77综上，O到直线MN的距离为定值，且定值为使得圆O与直线MN总相切. 【点睛】
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本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
?x??1?2cos?22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数）.以坐
?y?2sin?标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P的直角坐标为??2,0?，过
P的直线l与曲线C相交于M，N两点.
（1）若l的斜率为2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程；
uuuuruuur（2）求PM?PN的值.
【答案】（1）l：2?cos???sin??4?0，C：?x?1??y2?4；（2）?3 【解析】（1）根据点斜式写出直线l的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用
2sin2φ?cos2φ?1，将曲线C的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得PM?PN的值. 【详解】
（1）l的直角坐标方程为y?2?x?2?，即2x?y?4?0， 则l的极坐标方程为2?cos???sin??4?0. 曲线C的普通方程为?x?1??y2?4.
2uuuuruuur?x??2?tcos?（2）直线l的参数方程为?（t为参数，?为l的倾斜角），
y?tsin??代入曲线C的普通方程，得t2?2tcos??3?0.
设M，N对应的参数分别为t1，t2，所以t1?t2??3，M,N在P??2,0?的两侧.则
uuuuruuuruuuuruuurPM?PN?PM?PN?cosπ??t1t2??3.
【点睛】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
23．已知函数f?x??2x?1?2x?1，记不等式f?x??4的解集为M. （1）求M；
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（2）设a,b?M，证明：ab?a?b?1?0. 【答案】（1）?x|?1?x?1?；（2）证明见解析
【解析】（1）利用零点分段法将f?x?表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立. 【详解】
1??4x,x???2?11?（1）解：f?x???2,??x?，
22?1?4x,x??2?由f?x??4，解得?1?x?1， 故M??x|?1?x?1?.
（2）证明：因为a,b?M，所以a?1，b?1， 所以ab?a?b?1?a?1所以ab?a?b?1?0. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
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2020届河南省高三上学年期末数学(文)试题(解析版)
