第一章 行列式
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第一章 行列式 页脚内容
第一章 行列式
第五章 相似矩阵及二次型
1
试用施密特法把下列向量组正交化
?111? (1)(a1, a2, a3)??124??139??? 解 根据施密特正交化方法
?1? b1?a1??1??1???
?1?[b1,a2]? b2?a2?b1??0??1?[b1,b1]??
?1?[b1,a3][b2,a3]1 b3?a3?b1?b2???2?[b1,b1][b2,b2]3?1???
?1?0 (2)(a1, a2, a3)???1?1?1?101?1?1?1?0??
解 根据施密特正交化方法
?1??0? b1?a1????1?1???
?1???3?[b1,a2]1 b2?a2?b1???[b1,b1]3?2??1?
??1??3?[b1,a3][b2,a3]1 b3?a3?b1?b2???[b1,b1][b2,b2]5?3??4?页脚内容
第一章 行列式 2 下列矩阵是不是正交阵:
?1?11??23??1?11?; (1)??2??211?1??32?? 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵
?1?8?4??999??814??? (2)??99??9447?????999?
解 该方阵每一个行向量均是单位向量交阵 3
设x为n维列向量
且两两正交 故为正
xTx1 令HE2xxT 证明H是
对称的正交阵 证明 因为 HT
(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T
E2(xT)TxTE2xxT
所以H是对称矩阵 因为 HTH
HH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xxT4x(xTx)xT E4xxT4xxT E
页脚内容 所以H是正交矩阵
第一章 行列式 4 设A与B都是n阶正交阵
B是n阶正交阵
证明AB也是正交阵 故A1
证明 因为AAT B1
BT
(AB)T(AB)
BTATABB1A1ABE
故AB也是正交阵
5
求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)??2?5??3123??; ??10?2?
? 解 |A??E|?2??5?1?3?120???23????(??1)3 故A的特征值为1(三重)
对于特征值
1 由
A?E???3?5??1223??~??100111????10?1????000??得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1)T于特征值1的特征值向量.
(2)??123?
?213?;
?336??
解 |A??E|?1?2?31?23?36?3????(??1)(??9)故A的特征值为1
0 2
1
3
9
对于特征值
10 由
页脚内容 p1就是对应
向量 第一章 行列式 ?123??123?A??213?~?011??336??000?????得方程Ax0的基础解系p1(1 征值
1
向量p1是对应于特
1 1)T0的特征值向量.
2
对于特征值1, 由
?223??223?A?E??223?~?001??337??000?????得方程(A于特征值
E)x0的基础解系p2(1 1 0)T 向量p2就是对应
2
1的特征值向量
3
对于特征值9 由
11?1???823????1??A?9E?2?83~?01???33?3??2????000?得方程(A9E)x3
0的基础解系p39的特征值向量
(1/2
1/2 1)T 向量p3就是
对应于特征值
?0?0 (3)?0?1?001001001?0?. 0?0????0 解 |A??E|?01故A的特征值为 对于特征值
11
0??1022
01??010?(??1)2(??1)20??1
3
4
1
1 由
页脚内容 第一章 行列式 ?1?0A?E??0?1?得方程(A1 0)T征值向量
011001101??10?~?00??0?1???0010001001?0?0?0??
E)x0的基础解系p1(1 0 0 1)T p2(0 1
向量p1和p2是对应于特征值
3
4
1
2
1的线性无关特
对于特征值1 由
??1?0A?E??0?1?得方程(A1 0)T
0?11001?101??10?~?00??0?0?1???01000?100?1?0?0?0??
E)x0的基础解系p3(1 0 0 1)T p4(0 1
3
4
向量p3和p4是对应于特征值1的线性无关特征值
向量 6
设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同
证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE|
所以AT与A的特征多项式相同 7
从而AT与A的特征值相同
设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n 有公共的特征向量
则rt 证明A与B有公共
的特征值
证明 设R(A)r R(B)t 若a1
a2
n
显
anr是齐次方程组Ax0的基础解系
0的线性无关的特征向量 bnt是齐次方程组Bx
然它们是A的对应于特征值 类似地
设b1 b2
0的基础
页脚内容 第一章 行列式 解系 则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于(nr)(nt)n(nrt)n 故a1 a2
bn knrtanr b1 b2 必线性相关
ln 于是有不全为0的数
tk1 k2 k1a1k2a2
记
l1 l2
r 使 lnrbn(l1b1l2b2
r knranl1b1l2b2
0
k1a1k2a2 knranrlnrbnr)
则k1 k2为0
而
knr不全为0
否则l1
l2
lnt不全
l1b1l2b2
与b1 b2 因此
0
lnrbnr0
bnt线性无关相矛盾 是A的也是B的关于
0的特征向量
所以
A与B有公共的特征值 有公共的特征向量
8
设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2
x是A的对应于
的特征向
证明 设量
则
是A的任意一个特征值
(A2因为x0
3A 所以
2E)x2
2
x3x2x(
20 即
2
3
2
2)x3
2
0 0的根
3是方程
也就是说 9
1或2 且|A|
1 证明
1是A的特征值
设A为正交阵
证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为
又|A|
1或1
因为|A|等于所有特征值之积1 所以必有奇数个
页脚内容 第一章 行列式 特征值为 10
设
1 即1是A的特征值
证明
也是n0是m阶矩阵AmnBn
m的特征值
阶矩阵BA的特征值
证明 设x是AB的对应于 (AB)x于是 B(AB)x或 BA(B x)从而 11
是BA的特征值
0的特征向量 则有
x B(x)
(Bx)
且Bx是BA的对应于
3
的特征向量
7A| (2)2
已知3阶矩阵A的特征值为1 2
()
3
求|A35A2(1)3
解 令(3)3是
5
2
7 则
(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)| 12
(1)(2)(3)323
183
求
已知3阶矩阵A的特征值为1 22E|
60 3A2
|A*3A 解 因为|A|12(3) A* A* 令(3) |A*
(|A|A3A)5是3A1
所以A可逆 故
6A6A1
11
2E6
2E (1)
1
(2)5
32 则 故
1
(A)的特征值2E|(1)|6A(2)
3A2E||(A)|
15
(5)25
13似
(3) 且A可逆
设A、B都是n阶矩阵 证明AB与BA相
页脚内容 第一章 行列式 证明 取PA 则
P1ABPA1ABABA
即AB与BA相似
?201? 14 设矩阵A??31x?可相似对角化 求x
?405??? 解 由
2??01|A??E|?31??x??(??1)2(??6)405??得A的特征值为
1
6
23
1
2
3
因为A可相似对角化(A 所以对于1 齐次线性方程组
E)x0有两个线性无关的解 因此R(AE)1 由
?101?r?101?(A?E)??30x?~?00x?3?
?404??000?????知当x3时R(AE)1 即x3为所求
?2?12? 15 已知p(1 1 1)T是矩阵A??5a3?的一个特征向
??1b?2???量
b及特征向量p所对应的特征值
则
(1)求参数a 解 设 (A解之得
是特征向量p所对应的特征值
2??1??0??2???1E)p0 即?5a??3??1???0???1b?2?????1??0???????1 a3 b0
页脚内容 第一章 行列式 (2)问A能不能相似对角化？并说明理由 解 由
2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?10?2??得A的特征值为 由
1
2
3
1
?1?12?r?1A?E??5?23?~?0??1b?1??0???知R(AE)2 所以齐次线性方程组(A一个解向量 16
因此A不能相似对角化
01?1?1? 00??E)x0的基础解系只有
试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
?2?20? (1)??21?2?;
?0?20??? 解 将所给矩阵记为A 由
(1
)(1
4)(4
2)
2???20A??E??21???20?2??得矩阵A的特征值为 对于
1
1
2
23
2 解方程(A2E)x0 即
?4?20??x1???23?2??x??0?0?22??x2????3?得特征向量(1 2 对于
2
2)T
单位化得p1?(, , )T122333
1, 解方程(AE)x0 即
页脚内容 第一章 行列式 ?1?20??x1???20?2??x??0?0?2?1??x2????3?得特征向量(2 对于
3
1 2)T 4, 解方程(A 单位化得p2?(, , ?)T4E)x0 即
213323
??2?20??x1???2?3?2??x??0?0?2?4??x2????3?得特征向量(2
2
1)T
单位化得p3?(, ?, )T232133 diag(
2 1
于是有正交阵P4)
(p1 p2 p3) 使P1AP?22?2? (2)?25?4???2?45???
由
(10
1)2(
10)
解 将所给矩阵记为A2??2?2A??E?25???4?2?45??得矩阵A的特征值为 对于
1
2
1
2
1
3
1 解方程(AE)x0 即
1)T
将它们正交化、
?12?2??x1??0??24?4??x???0???2?44??x2??0????3???得线性无关特征向量(2单位化得 p1? 1 0)T和(2
0
1(?2, 1, 0)T5 p2?1(2, 4, 5)T35页脚内容
第一章 行列式 对于
3
10, 解方程(A10E)x0 即
??82?2??x1??0??2?5?4??x???0???2?4?5??x2??0????3???得特征向量(1 2 2)T 于是有正交阵P 单位化得p3?(?1, ?2, 2)T 使P1APdiag(1
13 1
10)
(p1 p2 p3)
?5??1?2?4? 17 设矩阵A???2x?2?与????4?相似 求x y
????4?21?y????并求一个正交阵P 使P1AP 显然
5
4 4是A 解 已知相似矩阵有相同的特征值
y是的特征值 故它们也是A的特征值 因为
的特征值
所以
5?2?4|A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0?4?25解之得x4
因为
已知相似矩阵的行列式相同
51?2?4|A|??2?4?2??100 |?|??4??20y?4?21y所以
20y5100 y5 5E)x
对于(1
0
解方程(A0 得两个线性无关的特征向量
1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得 p2?p1?1(1, 0, ?1)T21(1, ?4, 1)T32
页脚内容 第一章 行列式 对于4 解方程(A4E)x0 得特征向量(2 1 2)T
单位化得p3?(2, 1, 2)T13
?1??2 于是有正交矩阵P??0?1????2 18
21?332?1?4??332?21??332?1
使P1AP
设3阶方阵A的特征值为
(0
1
1)T2
2
2
3
1 对应
的特征向量依次为p10)T 求A.
(p1 p2
p2(1 1 1)T p3(1 1
解 令P p3) 则P1APdiag(2 2 1)
APP 因为
1
?011???110?P?1??111???1?11??110??01?1??????1
?011??20所以 A?P?P??111??0?2?110??00????10???110???13?3?0??1?11????45?3?????1???01?1???44?2?1
对
19应求A1
设3阶对称阵A的特征值为
2
1 2)T2
1
3
0
、
的特征向量依次为p1(1 2 p2(2 1 2)T?x1x2x3? 解 设A??x2x4x5???xxx?356? 则Ap12p1 Ap22p2 即
页脚内容 第一章 行列式 ??x1?2x2?2x3?1?x2?2x4?2x5?2??x3?2x5?2x6?2 ①
??2x1?x2?2x3??2?2x2?x4?2x5??1 ??2x3?x5?2x6?2再由特征值的性质
有
1
2
3
②
x1x4x6
由①②③解得 x1???x6 x4??x6令x60 得x1??0 ③
1132 x2?x6 x5??x612 x3??x6
2134
1132213413 x20 x3?23 x4?13 x5?23
??102?1因此 A??012?3?220??? 20特征值
6 1 1)T3
3 与
设3阶对称矩阵A的特征值
1
123
6对应的特征向量为p1(1
求A.
?x1x2x3? 解 设A??x2x4x5???xxx?356? 因为
1
6对应的特征向量为p1(1 1 1)T 所以有 ①
?1??1?A?1??6?1??1??1?????
2
3
x?x?x?6??123 即?x2?x4?x5?6
??x3?x5?x6?63是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知
R(A3E)1 利用①可推出
页脚内容 第一章 行列式 x3??11?x1?3x21?A?3E??x2x4?3x5?~?x2x4?3x5?????xxx?3xxx?3?5656?3??3因为R(A
3E)1 所以x2x43x5且x3x5x63 解之得
x2x3x51 x1x4x64
?411?因此 A??141??114??? 21
an)T
1重特征值
x是A的对应于
的特征向
a10
A 设a(a1 a2
0是A的naaT
(1)证明 证明 设量
则有
是A的任意一个特征值
Ax 于是可得 设
12
x
xA2xaaTaaTxaTaAx2
aTax aTa
aTa 从而
2
0或
n是
A的所有特征值 因为AaaT的
an2
2
主对角线性上的元素为a12 a22
1
所以
na12a22 an2aTa这说明在余n1
2
即
n中有且只有一个等于aTa 而其
1个全为00是A的n1重特征值
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量 解 设
1
aTa
2
1
n0
1
因为AaaaTa(aTa)a特征向量 对于
2
a 所以p1a是对应于aTa的
n0 解方程Ax0 即aaTx0 因
页脚内容 第一章 行列式 为a0
所以aTx0 即a1x1a2x2 anxn0 其线性
无关解为
p2(a2 a1 0 0)T p3(a3 0 a1
0)T
pn(an 0 0
a1)T
因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为
?a1?a????a(p, p???,p?aa2???0n??12, n)???2????1?an0????????????
a?1? 22 设A???142??0?34? 求A100
?043?? 解 由
|A??E|?1?0?420?34??3?4???(??1)(??5)(??5)
得A的特征值为1
1
2
5
3
5
对于1
1 解方程(AE)x0 得特征向量p1(10)T
对于15 解方程(A5E)x0 得特征向量p2(22)T
对于1
5 解方程(A5E)x0 得特征向量p32 1)T
令P(p1 p2 p3)
则 P1APdiag(1
5
5)
页脚内容 01(1
第一章 行列式 A A100 因为
PPP1100
P1
100
diag(1 5100
?1 5100)
?121??50?5?1 P?1??01?2???012??021?5?0?21?????所以
??50?5?121??1????012? 1001?100 A?01?2?5?0?21?5?021??5100????????105100?1? ??051000??005100??? 23
在某国
有比例
每年有比例为p的农村居民移居城镇
假设该国总人口数不变
为q的城镇居民移居农村迁移的规律也不变
且上述人口
把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例
依次记为xn和yn(xnyn1) (1)求关系式??xn?1??xn???A?y?中的矩阵A y?n?1??n? 解 由题意知 xn yn11
xnqynpxn(1p)xnqyn ynpxnqyn pxn(1q)yn
可用矩阵表示为 ??xn?1??1?pq??xn????p1?q??y?y??n??n?1??
页脚内容 第一章 行列式 ?因此 A???p1?q???1?pq
(2)设目前农村人口与城镇人口相等
?0?? 即??y???0.5??0???x0.5 求
?xn??y??n?
解 由??xn?1??xn??xn??An?x0??A可知????y??y??yn?1??yn??n??0? 由
|A??E|?得A的特征值为 对于 对于
11
1
1?p??q?(??1)(??1?p?q)p1?q??1
2
r 其中r1pq
E)x0 得特征向量p1(q p)T
1 解方程(Ar 解方程(ArE)x0 得特征向量p2(1 1)T
令P?(p1, p2)??? P1AP A An于是 An??? ?q?1???p1?diag(1
1
则 r)
PPPn
1
P
nq?1??10???0r?p1?????q?1?
?p1????11?q?1??10??11?
????n??p?q?p1??0r???pq?
q?prnq?qrn?1? ???p?q?p?prnp?qrn?xn?q?prnq?qrn??0.5?1?? ????p?prnp?qrn??0.5? y?n?p?q????2q?(p?q)rn?1? ???2(p?q)?2p?(q?p)rn?页脚内容
第一章 行列式 24
(1)设A???3?2???23?? 求(A)A105A9
解 由
|A??E|?3???2?(??1)(??5)?23??得A的特征值为 对于 对于
1
1
1
2
5
1 解方程(A1
E)x0 得单位特征向量1(1, 1)T25E)x
5 解方程(A0 得单位特征向量
1(?1, 1)T2
使得P1APdiag(1
1?1? 于是有正交矩阵P?1???2?11?5)从而A
PP1
AkP1
kP1
因此
10
(A)P()PP(
1
5
9
)P1
1
P[diag(1 510)5diag(1 59)]PPdiag(4 0)P1?1???40?1?11?
?1???????2?11??00?2??11??2?2??2?11?
????2?2???11??????212? (2)设A??122?, 求(A)A106A95A8
?221??? 解 求得正交矩阵为
页脚内容 第一章 行列式 ??1?31P???13?6?20?2?2??2??
使得P1APdiag(
1 1 5) APP1
于是
(A)P()P1
P(10
69
5
8
)P1
P[8
(E)(5E)]P1
Pdiag(1 1 58)diag(2 0 4)diag(6 0)P1
Pdiag(12 0 0)P1
??1?32? ?1?6???132??12??????13?1320??202???0? ???0????222?? ?2??11?2??11?
??2?242??? 25 用矩阵记号表示下列二次型:
(1) fx24xy4y22xzz24yz
解 f?(x, y, z)??121??x??2
?1422??1???y??z?? (2) fx2y27z22xy4xz4yz
解 f?(x, y, z)??1?1?2??x???11?2??
??2?2?7???y??z?? (3) fx12x22x32x422x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4?? 解 f?(x??111123??12????xx1?1, x2, x3, x4)?2??0??
??21?32101???x?3?x?4?页脚内容 4
第一章 行列式 26 写出下列二次型的矩阵
(1)f(x)?xT??2?31?x1??
解 二次型的矩阵为A???2?3
1?1??
?123? (2)f(x)?x?456?x?789???T?123? 解 二次型的矩阵为A??456??789??? 27 (1) f
求一个正交变换将下列二次型化成标准形: 2x123x22
3x334x2x3
由
?200? 解 二次型的矩阵为A??032??023???2??00A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)023??得A的特征值为 当
1
1
2
2
5
3
1
2时, 解方程(A2E)x0 由
?000??012?A?2E??012?~?001??021??000?????得特征向量(1 0 当
2
0)T 取p1(1 0
5E)x 0)T
5时 解方程(A0 由
??300??100?A?5E??0?22?~?01?1?
?02?2??000?????页脚内容 第一章 行列式 得特征向量(0 1 1)T 取p12?(0, , 12)T2
当
3
1时 解方程(AE)x0 由
A?E???100??100??022?~?011?
?022????000??得特征向量(0
1 1)T 取p3?(0, ?1, 12)T2
于是有正交矩阵T(p1 p2 p3)和正交变换xTy 使
f2y125y22y32
(2) fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4
?1 解 二次型矩阵为A??1?1?01?01?? 由
??0?11?10111?1??1??10?1A??E?11???10?(??
?01?011?1)(??3)(??1)21?1?1?得A的特征值为1
1
2
3
34
1
当1
1时 可得单位特征向量p111?(, ?, ?12, 1222)T 当2
3时
可得单位特征向量p(1, 1, ?1222, ?12?2)T
当
3
4
1时
可得线性无关的单位特征向量
p113?(2, 0, 12, 0)T p4?(0, , 0, 1)T22
于是有正交矩阵T( p1 p2 p3 p4)和正交变换xTyfy123y22y32y42
页脚内容 使
第一章 行列式 28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x25y25z24xy4xz10yz1
化成标准方程
?32?2? 解 二次型的矩阵为A??25?5???2?55???3??2?2 由|A??E|?25???5???(??2)(??11)?2?55??为
1
得A的特征值
2
1
2
11
3
0 2E)x 11E)x
得特征向量(0 1
1)T 单位化
0 得特征向量(1 2 0 得特征向量(4 1 1)T
对于2 解方程(A单位化得p1?( 对于2)T2
4, ?1, 1)32323211 解方程(A 单位化得p2?(, , ?)3
123323 对于得p3?(0, 0 解方程Ax0
(p1
1, 1)22 于是有正交矩阵P0)
从而有正交变换
p2 p3) 使P1APdiag(2 11
?4?2?x??31?y?????z??32??1???3210??3?u?21???v?32??w???21???32?
使原二次方程变为标准方程2u211v21
页脚内容 第一章 行列式 29
明
二次型fxTAx在||x||1时的最大值为矩阵A的最
大特征值.
证明 A为实对称矩阵
则有一正交矩阵T 使得
1
TAT成立大
其中
1
1
diag(
2
2
n为
n)
1
A的特征值 不妨设最
作正交变换yTx fnn 即xTTy 注意到T211
1
TT 有
xTAxyTTATTyyTy
y222yy2
因为yTx正交变换 所以当||x||1时 有
||x||1 即y12y22 yn2
1
||y||
因此
f 211y222y
nn1
y2
1
1
又当y11 y2y3 30 (1) f(x1 解 f(x1
yn0时f 所以f max
用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵
x2 x3)x123x225x322x1x24x1x3 x2 x3)
x123x225x322x1x24x1x3
(x1x22x3)24x2x32x22x32 (x1x22x3)22x22(2x2x3)2
?y1?x1?x2?2x3?令 ?y2?2x2??y3?2x2?x3?x?y?5y?2y3?1122?1y 即?x2?22??x3??2y2?y3?页脚内容
第一章 行列式 二次型化为规范形
fy12y22y32
所用的变换矩阵为
?1?52???2??1C??00?2???0?21???
(2) f(x1 解 f(x1
x2 x3)x122x322x1x32x2x3 x2 x3)
x122x322x1x32x2x3
(x1x3)2x322x2x3 (x1x3)2x22
(x2x3)2
??y1?x1?x3令 ?y2?x2??y3?x2?x3二次型化为规范形
??x1?y1?y2?y3 即?x2?y2??x3??y2?y3fy12y22y32
所用的变换矩阵为
?11?1?C??010??0?11??? (3) f(x1 解 f(x1
x2 x3) x2 x3)
2x12x224x322x1x22x2x3 2x12x224x322x1x22x2x3
22?4x3?2x2x3 ?2(x1?x2)2?x212122 ?2(x1?x2)2?(x2?2x3)2?2x31212
页脚内容 第一章 行列式 ?y??12(x1?1x2)?x??11y?1y?1y1232令 ??y122222y?2?2(x2?2x3) 即??x2?2?y3??y3?2x?3?12?x3?2y3二次型化为规范形
fy12y22y32
所用的变换矩阵为
C?1?1?1?12??022??
?001?? 31
设
fx12x225x322ax1x22x1x34x2x3
为正定二次型
求a
解 二次型的矩阵为A???1?aa1?1? 其主子式为
??122?5?? a11
1
1aa?1?a2 1?aa11?22115??a(5a?4)
因为f为正主二次型 所以必有1a20且a(5a之得?45?a?0
32 判别下列二次型的正定性
(1) f2x126x224x322x1x22x1x3
解 二次型的矩阵为A????211??1?60? 因为
?10?4??页脚内容
4)0 解
第一章 行列式 a11??2?0所以f为负定 (2)
?21?11?01?6 |A|??38?0
fx123x229x3219x422x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4
?1??1 解 二次型的矩阵为A??2?1??130?3209?61??3??6?19?? 因为
a11?1?0所以f为正定 33
1?121?1 ?4?0, ?130?6?0, A?24?0?13209
证明对称阵A为正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵
U 使AU TU 即A与单位阵E合同
证明 因为对称阵A为正定的
所以存在正交矩阵P使
1
PTAPdiag(
其中
1
12
2
则
n)n 即APPT 均为正数 A 令 再令
?1?diag(?1, ?2, ? ? ? ,?n)U
1
1
P11
TTPTTP 则U可逆 且AUTU
页脚内容
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
