湖北省武汉市部分学校2019届高三9月起点调研数学【理】试卷
及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1＋2i1．2＝
(1－i)
1111
A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 2222
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数-x＝3，-y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A．^y＝0.4x＋2.3 B．^y＝2x－2.4 C．^y＝－2x＋9.5 D．^y＝－0.3x＋4.4 4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝
A．2 B．22 C．32 D．42 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
11A．
2B．5
9C．
2D．4
6．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于
3333＋63＋39A． B． C． D． 2224x＋y－2≤0，??
7．x，y满足约束条件?x－2y－2≤0，
??2x－y＋2≥0．
若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
11
A．或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1
22
8．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的
两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则a9＝
A．19 B．22 C．5 D．27
2
9．已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
→→
OA·OB＝2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是
222
A． B． C． D．2
842
12x2
10．已知函数f(x)＝x＋e－（x＜0）与g(x)＝x＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a
2
的取值范围是
A．(－∞，
1e
) B．(－∞，e) C．(－1e
，e) D．(－e，
1e
)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错．．．．．．．位置，书写不清棱两可均不得分．
15
11．设二项式(x－)的展开式中常数项为A，则A＝ ．
3x
12．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝ ．
13．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，
22
1)分别在抛物线y＝－x和y＝x上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．
22xy
14．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦
43
点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝ ．
15．平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的
中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，
11
R，则有＋＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设
AQAR
O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
1
已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－．
2
π2
＋α)＝，且0＜α＜π，求f(α)的值； 42
（Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合． （Ⅰ）若sin(
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；
（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由． 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．
（Ⅰ）求证：AB∥GH；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2018元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2018元的概率． 20．（本小题满分13分）
如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，|PR|求的取值范围． |PQ|
21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a的值；
2
（Ⅱ）若f(x)≤kx对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；
n
（Ⅲ）当n＞m＞1（m，n∈N）时，证明：
*
mm＞． nmn
参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题
2111
11．－10 12．－4 13． 14．8 15．＋＋＝3
3AQARAP
三、解答题 16．（本小题满分12分）
ππ5π
解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴＜＋α＜． …………………2分
444
π2π3ππ
＋α)＝，∴＋α＝，即α＝． …………………4分 42442
1πππ11
∴f(α)＝cosα(sinα＋cosα)－＝cos(sin＋cos)－＝－．……………………6
222222∵sin(
分
111＋cos2x12
（Ⅱ）f(x)＝sinxcosx＋cosx－＝sin2x＋－ …………………7分
2222112π
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)． …………………8分 2224
ππ
当2x＋＝2kπ－，k∈Z，
42
3π
即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值， …………………10分
8
3π
此时自变量x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．………………………………12分
8
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1． …………………2分
两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1． …………………3分 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1． …………………5分
由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． …………………6分 故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；…………………7分 {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．…………………8分 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2． …………………10分
因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………………………………………12分
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，…………………1分
∴EF∥AB，DC∥AB， …………………2分 ∴EF∥DC．
又EF ?平面PCD，DC?平面PCD，
∴EF∥平面PCD． …………………3分
又EF ?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，…………………4分 ∴EF∥GH． 又EF∥AB，
∴AB∥GH．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在△ABQ中，∵AQ＝2BD，AD＝DQ，∴∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ．
又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则B(0，0，0)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，(注：坐标写对给2分) →→
∴DP＝(－1，－1，2)，CP＝(0，－1，2)．…………………8分 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
→→
由n·DP＝0，n·CP＝0，得 ??－x－y＋2z＝0，?取z＝1， ?－y＋2z＝0．?
得n＝(0，2，1)．…………………10分 →
又BQ＝(0，2，0)为平面PAB的一个法向量，
→n·BQ2×225→
∴cos＜n，BQ＞＝＝＝．
→55×2|n||BQ|
故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为
5
．………………………………12分 5
19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X所有可能的取值为
500×10－2018＝2018，500×6－2018＝2018，
300×10－2018＝2018，300×6－2018＝800． …………………4分
--P(X＝2018)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
--P(X＝2018)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2．
湖北省武汉市部分学校2019届高三9月起点调研数学【理】试卷及答案
