第3讲 导数与函数的极值、最值
最新考纲 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
知 识 梳 理
1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )
解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是
f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.函数f(x)＝－x＋3x＋1有( )
3
A.极小值－1，极大值1 C.极小值－2，极大值2
3
B.极小值－2，极大值3 D.极小值－1，极大值3
2
2
解析 因为f(x)＝－x＋3x＋1，故有y′＝－3x＋3，令y′＝－3x＋3＝0，解得x＝±1， 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－1) － －1 0 极大值 (－1，1) ＋ 1 0 极小值 (1，＋∞) － 所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3. 答案 D
3.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A
4.(2017·武汉模拟)函数y＝2x－2x在区间[－1，2]上的最大值是________. 22
解析 y′＝6x－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.
3
8?2?∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f??＝－，f(2)＝8, 所以最大值为8. 27?3?答案 8
5.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________. 1
解析 ∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.
3
2
x答案 1
?π?6.(2017·杭州调研)函数y＝x＋2cos x在区间?0，?上的最大值为________；最小值为
2??
________.
π?π??π?解析 ∵y＝x＋2cos x，x∈?0，?，∴y′＝1－2sin x，x∈?0，?，令y′＝0，得x＝，2?2?6??ππ?π??ππ?当x∈?0，?时，y′>0，当x∈?，?时，y′<0，故x＝时，∴y最大＝y极大＝＋3，
6?66??62?πππ
又x＝0时，y＝2；x＝时，y＝，∴y最小＝.
222
答案
ππ＋3 62
考点一 用导数解决函数的极值问题 【例1】 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x－2x－4ln x；
332
(2)f(x)＝ax－3x＋1－(a∈R且a≠0).
2
a解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝
x4
2（x－2）（x＋1）
，
x令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍).
随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (0，2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ ∴f(x)有极小值f(2)＝－4ln 2，无极大值. ?2?2
(2)由题设知a≠0，f′(x)＝3ax－6x＝3ax?x－?.
?
a?
2
令f′(x)＝0得x＝0或.
a当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 ?0，2? ?a???－ 2a ?2，＋∞? ?a???＋ 0 极小值 a 3∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，
f(x)极小值＝f??＝－2－＋1.
aa?a?
当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
?2?
43
x ?－∞，2? ?a???2 a?2，0? ?a???0 (0，＋∞)
2018年高考数学总复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值学案!
