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期末总复习题
?、填空题
1、已知向量才」? j -2?,
b = -1 o
2、 曲线z = X2绕z轴旋转所得曲面方程为z=x2 + y2 3、
°° f1
1 \\
级数送即歹，的敛散性为
发散
2 y^ a2
1
4、设 L是上半圆周x(y^0)，贝U曲线积分J~2 ------ ds=
L x +y
5. 交换二重积分的积分次序：j^dy
f (x, y)dx二dx匚f (x, y)dy
6.
级数 1
—的和为 1 n土 n(n +1)
、选择题
1、平面(x -1) ? 3y (z 1)=0 和平面(x ? 2) -(y -1) ? 2z = 0 的关系 A重合 B、平行但不重合
c、 般斜交 、 下列曲 面中为母线平 行于 z 轴的
2. C ) ( x2 2z2
= 1 B、y2 2z2 =1
C、
x2 2y2 = 1 x2 2y2 z23.设 D :x2 y2
x3 ln( x2-4(y 0),则.. y2 1)
D x2 y2
1 dxdy= 2~ B、0
C、1
D、4 二
4、设 D:x2 y
乞4(y 0)，则 | idxdy
二
16 二
C、8 ■
5、函数z=50 -x2 _4y2在点
(1, -2) 处取得最大方向导数的方向是
-2i 16j B-2i -16j C、2i 16j D、2i -16j 、
(y 2 ) y
)y的 阶0数
微分方程y -4y，3y = 0的通解
1
垂直的是
2
(D ) A、 y = e e C、y 心 e3x
x 3x
C
D、
B、y = e Ce y = C1eiii iv v vi vii viii ix x C2e3x
x 3 x
aO
8
.
lim Un = 0
n
:i
为 无
穷 级 数
' Un
收 敛 的
n=1
(B )
A、充要条件
B、 必要条件 C、充分条件
D、什么也不是
三、 已知a=i, b =昭,a丄b，求a+b与a_b的夹角.P7
解：丁a丄b \\ab =0 |a +b| = ( a 代)2 =、(1 P +3) =2 |a- b| =*(a _b)2 =J(1 _0 +3) =2 (a 4fo)(a -b) =1 _3 =-2 |a +bk|a-b|
「.日=120°
4 2
解：设平面方程为 Ax + By + Cz十D = 0
依题可得 D=0, -2A+B+3C=0 又寫 n 丄 |1,-4,5| 二 A-4B+5C=0 故有：47x+13y+z=0
四、 一平面垂直于平面 x -4y ? 5z -1 =0且过原点和点
-2,7,3，求该平面方程.(参考课
本P7例题)
五、设 z =uev, u = x2 - y2,v = xy,求
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,cos日=(a 加)(a _b) 2 1 解：由全微分方程的不 变性，得 cz 丄 QZ dz du —dv
-U :v 二 evdu uevdv
L、
厂］
=e% (x2 - y2) (x2 - y2)exyd(xy) 二 e^&xdx-2ydy) (x2 - y2)exy(ydx xdy) =exy(2x x2y _ y3)dx exy(x3 _2y _xy2)dy 进而可得 fuepx+xj-y3), x 2
￥=exy(x3 -2y-xy2) :y
3
4
dz,
cz cz :x -y
P19
求由xyz =sinz所确定的函数z = zx,y的偏导数— 六、
dx cy
解：由 xyz =sin z得xyz -sin z =0 两边对x求偏导数得： 解得:冬=—yz—
coszF —yz—xyM =0
次 &
& cos z -xy
_xz _xy 两边对y求偏导数得： cosz — :
.y
解得：-N
.:z :y
xz
dy cos z -xy
z =2x2 ? 2y2在点M o 七、求旋转抛物面
1 一
-1,?,2 |处的切平面和法线方程
解：令 f(x,y) =2x2 2y2,则：
fx(x, y) =4x, fy (x, y) 4y 所以：n =\： n” =\，-4,2,-1 故曲面在点M0处的切面方程
o
式为：
-4(x 1)
1
2(y —) - (z -2)=0
2
即：4x —2y z 3 =0
1 y -—
法线方程式为：X V二
2
2
z -2 -1
-4
即:
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八、求函数f x,y二xy sin(x 2y)在点P 0,0处沿从点P 0,0到点Q 1,2的方向的
解：这里的方向，即向量PQ=「1,［的方向, 易知PQ上单位向量
又；fx (x, y)二y cos(x 2y), fy (x, y) =x 2c o sc( 2y)
方向导数。
fx(0,0)\y(0,0)=2 故f
氐(0,0)
二 fx (0,0)? 1 fx (0,0门 2
⑴5 . 5
九、计算—重积分iixydxdy，其中D是由x轴，y轴与单位圆x2 ? y2 =1在第一象
D
限所围的区域.
解：画出微积分区域 D的草图，如图所示，从 D的草图可判断D既是X型区域也是Y型区域, 把D看成Y型区域，则先X积分，后对y积分,
对 1 此时D可用不等式组表示: x _ y,1 _ y _ 2 y 1 2 —(y 故口 ^dsdy = ( dy h —dx = 2 1 J 1 9 1D y 、， 『3*16
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2017大学一年级高等数学试题及答案
