巧用矩形的对角线相等解题
矩形的对角线相等是矩形的性质之一，巧妙地利用这个性质，可以使某些问题得到简单而 快捷的解决. 一、求最值
例 1 如图 1,在ZkABC 中，ZBAC=90° , AB = 3,AC=4,P 为边 BC ±一个动点,
PE丄AB于点E,PF丄AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.
分析与解 连结 AP. J PE1AB, PF丄AC, ???四边形AEPF是矩形,
??? ZBAC= ZAEP= ZAFP=90° ,
???EF=AP.当AP与BC垂直时，AP最小.
RtAABC 中,BC2=AB2 + AC2=32+42=25, :. BC=5. A SAABC= - AB ? AC = -BC AP,
即卜3X4十5 W §
12 1? —,即EF的最小值为
二.
5
2 2
二、证明线段相等
例2如图2,在正方形ABCD中，E是对角线AC ±的一点，EF丄CD于点F, EG丄AD 于点G求证：BE=FG? 分析与解连结ED.
图1
??? EG 丄 AD,EF 丄 CD,.?.ZEGD= ZEFD= ZADC=90° ,.?.四边形 GEFD 是矩形， ??? G.F=DE,四边形 ABCD 是正方形，.I BC=CD, ZBCA= ZDCA=45° .在ABCE 和 BC = CD,
ADCE 中,\\ZBCE = ZDCE, .I ABCE ^ADCE, .I BE=ED, .I BE=GF.
EC = EC,
三、证明定值
例3如图3,扇形OAB的半径OA = 3,圆心角ZAOB=90°，点C是弧AB上异于A、B 的动点，过点C作CD丄OA于点D,作CE丄OB于点E,连结DE,点G, H在线段DE ± 且.DG=GH 二 EH.
(1) 求证：四边形OGCH是平行四边形；
(2) 当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG 'P是否存在长度不变的线段？若存在， 请
出该线段的长度.
分析与解(1)连结OC交ED于点F.
J CE丄OA 于点 E,CD丄OB 于点 D, .I ZCEO= ZCDO= ZAOB =90° ,
???四边形EODC是矩形，???OC = DE,且OF=FC,EF=FD.又T EH = GD,
???EF?EF=FD ?GD,即FH=FG , A四边形OGCH是平行四边形 (2) J DG 的长度不变，??? DE=OC = 3.又T EH = HG=GD, J DG 冷 ％ 十 3 = 1
A E
0
图4
四、证明定理
例4已知在RfABC中，'AB29。。，点。是AC的中点，求证:OB=”C. 证明 如图4,延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD.
??? OA=OC,OB=OD,
???四边形ABCD是平行四边形, 又??? ZABC = 90° , ???四边形ABCD是矩形
??? BD = AC,即 20B = AC, ??? OB = -AC.
2
五、求值
例5 如图5,在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若E,F是AC上两 动点，E、F分别从A、C两点同时以1纽於的相同的速度向C、A运动.
(1) 四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
(2) 若BD=10c/?,AC=16cm,当运动吋间r为多少吋，四边形DEBF为矩形.
分析与解
(1) I四边形ABCD是平行四边形，
/. OA=OC, OB=OD. ??? AE=CF=7,
??? OA-AE=OC-FC,艮卩 OE=OF,
???四边形DEBF是平行四边形.
(2) 1° 当 DB=EF 时，10=16 ?2r,/=3;
2° 当 DB = EF 时，10=21- 16』=13,
???当匸3或r=13时,四边形DEBF是矩形.
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