最新高物理竞赛试题
1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.
证明 设球壳单位面积质量为ρ,壳内P点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元△S1,距P为r1,过此面元边界与P连接并延长,在球壳上又取下对应面元△S2,距P为r2,可得△S1与△S2对质点m的总万有引力Fi为 Fi=F1- F2.
VS1
θ r1
O P r2
VS2
图4-17
Fi=G·
mρ△S1r2 - G·mρ△S22 1r2△S△S=Gρm(12r212 - r2).
从图中可得
△S1△S2r12 - r22.
因为△S1和△S2很小,所以 △S'1=△S1cos?,△S2=△S'2cos?, 即
△S1△S2r2 =r2. 12这样可得 Fi=0. 所以 F=?Fi=0.
i=1VS'V1S 1 P O
VS2 VS'2
2.两个质量为1.0g的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.如果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？
解 设想m1绕m2做半径为l的圆周运动，m2为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m1做类似于太阳系行星的运动.设m1在A点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m2为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别为T和T’，圆半径和椭圆半长轴分别为l和l’，由开普勒第三定律有 m1 A TT3 ○1 l3=l’
’22’l T’
T
m2
图4-18
1T'当m1在A点的速度减为零时，有l→2，则m1从A运动到m2的时间t=2.
4?2Gm1m2又因为m1做圆周运动时，受向心力Fn==m1l2作用，故 2TlT24?22 =. ○3lGm21 、○2两式得T=2?（l）由○
’’3213T'1，所以t==?(2)22Gm21=1.36×Gm2108s.
3.求半径为R的液态行星中心处压强，假设液态不可压缩且密度为ρ.若R=6.4×106m，ρ=1.7×103kg/m3，计算此压强。
解 将行星球体分成大量厚△r的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m的微粒.圆锥从球层上分出面积分别为S1和S2两部分（图4-19）.
若球层单位面积表面摊有物质的质量为μ，则S1和S2部分对质量m的万有引
S1 B 1力分别为 α1
mμS1mμS2F1?G，F?G， 2r12r22M1 A1
r1
Ω O 但是
S1S2cosα?cosα12?Ω, 22r1r2M2 r2 B2 式中：Ω为圆锥顶点O处立体角. 作OM1=OA1和OM2=OA2，所以 ∠OA1M1=∠OA2M2.
S2 α2
A2
图4-19
此外，∠OA1B1=∠OA2B2.因为α1=∠OA1B1-∠OA1M1，α2=∠OA2B2-∠OA2M2，所以α1=α2，因此，
S1S2=. r12r22结果F1 =F2，这两个力彼此相互平衡.对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论.
43?rρ△S△rρ3体积△S△r元层所受指向行星中心的引力为F=G. 2r式中：r是从此元层到行星的距离. 由此求出厚△r部分压强的增加为
F42△p==?Gρr△r.
△S3于是在离行星中心距离r0处的压强为
42p=p0+?Gρ?r△r.
3由于?r△r等于图像y=r与轴r所围图形面积，所以
（R+r0）（R-r0）R2-r2=， ?r△r=2222因而p=p0+?G. ρ（R2?r02）3取行星表面处压强等于零，得到 22. p=?Gρ（R2?r02）3在行星中心处（r0=0）压强等于
222p=?GρR. 3代入ρ和R数值，得到
P≈1.6×1029N/m2.
4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km2的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R地=1.5×108km的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10-5pa.问：
（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？
（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R火=2.3×108km的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.
太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M太G=1.3×1011km3/s2.
解 （1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为
2M 太mM 太mmR地pSF=G - pS = G - G 222GmR地R地R地2[M太- pSR地/（Gm）]m= G 2R地可见，太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M太，而是某个减少后的等效质量，即
2pSR地
M效= M太- .
Gm
我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M效的物体的引力场里，航天器总机械能为 E =
mM效12mv - G.
R2根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于 E =
mM效12mv地- G， 2R地式中：v地为航天器在离太阳距离R地且当帆张开时具有的速度。 根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.
2MmMv地m = G2太，即v地 = G太. R地R地R地由此可见， E = G
mM太(- M效) R地22MmpSR地-太). = G (
R地Gm2如果E≥0,即在下面条件下
2MpSR地-太≥0， Gm2航天器可以飞离太阳系。
由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。
（2）设M为某一质量m1时，航天器与火星轨道相切，[航天器能够飞到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m中，m1是最大的].在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R地+R火）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。
R v地
12高中物理竞赛-天体部分习题精选
