必修1第一章集合与函数 基础知识点整理
姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学
2015年10月2日
必修1第一章集合与函数基础知识点整理
第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、
集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为{a1,a2,a3,???,an}，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{x?A|P(x)}，既要关注代表元素x，也要把握其属性P(x)，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母A,B,C,???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集N*或
N?，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
?表示，4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号?、例如3?N，
?2?N.
¤例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程x(x2?2x?3)?0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：{x?R|x(x2?2x?3)?0}； 用列举法表示为{0,?1,3}.
（2）用描述法表示为：{x?Z|2?x?7}； 用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空：已知A?{x|x?3k?2,k?Z}，B?{x|x?6m?1,m?Z}，则有： 17 A； －5 A； 17 B.
解：由3k?2?17，解得k?5?Z，所以17?A；
7由3k?2??5，解得k??Z，所以?5?A；
3由6m?1?17，解得m?3?Z，所以17?B. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4） （1）一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数y?x2?4的函数值组成的集合； （3）反比例函数y?2的自变量的值组成的集合. x?y?x?3}?{(1,4)}. 解：（1）{(x,y)|?y??2x?6?2x（2）{y|y?x2?4}?{y|y??4}. （3）{x|y?}?{x|x?0}.
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
*【例4】已知集合A?{a|解：化方程
x?a?1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A． x2?2x?a?1为：x2?x?(a?2)?0．应分以下三种情况： 2x?291⑴方程有等根且不是?2：由 △=0，得a??，此时的解为x?，合．
42
2
⑵方程有一解为2，而另一解不是?2：将x?2代入得a??2，此时另一解x?1?2，合． ⑶方程有一解为?2，而另一解不是2：将x??2代入得a?2，此时另一解为x?2?1，合． 综上可知，A?{?,?2,2}．
94点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现
象.
第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系
¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集
的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.
¤知识要点：
1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A?B（或B?A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.
2. 如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A?B.
3. 如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A?B（或B??A）.
?4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作?，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：A?A；若A?B，B?C，则A?C；
若AIB?A，则A?B；若AUB?A，则B?A. ¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）? {x?R|x2?2?0}； 0 {0}； ? {0}； N {0}. 解：（1）， ；
（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合A?{x|x?
AB
A． B． C． D． 易知B?A，故答案选A．
n1则下列图形能表示A与B关系的是（ ）. ,n?Z},B?{x|x?n?,n?Z}，
22BABAAB3212123232113222解：简单列举两个集合的一些元素，A?{???,??1,?,0,,1,,???}，B?{???,?,?,,,???}，
?2n?1,n?Z}，易知B?A，故答案选A．
?2【例3】若集合M??x|x2?x?6?0?,N??x|ax?1?0?，且N?M，求实数a的值.
另解：由B?{x|x?解：由x2?x?6?0?x?2或?3，因此，M??2,?3?. （i）若a?0时，得N??，此时，N?M； （ii）若a?0时，得N?{}. 若N?M,满足故所求实数a的值为0或
1a1111?2或??3，解得a?或a??. aa2311或?. 23点评：在考察“A?B”这一关系时，不要忘记“?” ，因为A??时存在A?B. 从而需要分情况讨
论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
?a?b?ax?a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1. 解：若?2?a?2b?ax
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
?a?b?ax2?2ax2-ax-a=0. 若??a?2b?ax因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有x??经检验，此时A=B成立. 综上所述x??
1. 21. 2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）
¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一
个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
¤知识要点：
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集 交集 补集 由所有属于集合A或属于集由属于集合A且属于集合B对于集合A,由全集U中不属于合B的元素所组成的集合，的元素所组成的集合，称为集合A的所有元素组成的集概念 称为集合A与B的并集集合A与B的交集合，称为集合A相对于全集U（union set） （intersection set） 的补集（complementary set） ） ） ） eUA（读作“A的补集”AUB（读作“A并B”AIB（读作“A交B”记号 符号 图形表示 AUB?{x|x?A,或x?B} AIB?{x|x?A,且x?B} eUA?{x|x?U,且x?A} U A ¤例题精讲：
【例1】设集合U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9},求AIB,eU(AUB). 解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示： AIB?{x|3?x?5}，
A -1 CU(AUB)?{x|x??1,或x?9}，
【例2】设A?{x?Z||x|?6}，B??1,2,3?,C??3,4,5,6?，求： （1）AI(BIC)； （2）AIeA(BUC). 解：QA???6,?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6?. （1）又QBIC??3?，∴AI(BIC)??3?； （2）又QBUC??1,2,3,4,5,6?， 得CA(BUC)???6,?5,?4,?3,?2,?1,0?. ∴ AICA(BUC)???6,?5,?4,?3,?2,?1,0?.
A?B 3 5 B 9 x 【例3】已知集合A?{x|?2?x?4}，B?{x|x?m}，且AIB?A，求实数m的取值范围.
解：由AIB?A，可得A?B.
在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示： B A 由图形可知，m?4.
-2 4 m x 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，
得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集U?{x|x?10,且x?N*}，A?{2,4,5,8}，B?{1,3,5,8}，求CU(AUB)，CU(AIB)，
4
(CUA)I(CUB)， (CUA)U(CUB)，并比较它们的关系.
解：由AUB?{1,2,3,4,5,8}，则CU(AUB)?{6,7,9}. 由AIB?{5,8}，则CU(AIB)?{1,2,3,4,6,7,9} 由CUA?{1,3,6,7,9}，CUB?{2,4,6,7,9}， 则(CUA)I(CUB)?{6,7,9}，
(CUA)U(CUB)?{1,2,3,4,6,7,9}.
由计算结果可以知道，(CUA)U(CUB)?CU(AIB)，
(CUA)I(CUB)?CU(AUB).
另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn图研究(CUA)U(CUB)?CU(AIB)与(CUA)I(CUB)?CU(AUB) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中
的一些数学思想方法.
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：CU(AIB)?(CUA)U(CUB),CU(AUB)?(CUA)I(CUB).
2. 集合元素个数公式：n(AUB)?n(A)?n(B)?n(AIB).
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：
【例1】设集合A??4,2a?1,a2,B??9,a?5,1?a?，若AIB??9?，求实数a的值. 解：由于A??4,2a?1,a2,B??9,a?5,1?a?，且AIB??9?，则有：
当2a?1＝9时， 解得a＝5，此时A={－4, 9, 25}，B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去； 当a2＝9时，解得a＝3或－3.
不合题意，故舍去； a＝3时， A={－4,5,9}， B={9,－2,－2}，a＝－3，A={－4, －7， 9}，B={9, －8, 4}，合题意. 所以，a＝－3.
【例2】设集合A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}，B?{x|(x?4)(x?1)?0}，求AUB, AIB.（教材P14 B组题2）
解：B?{1,4}.
当a?3时，A?{3}，则AUB?{1,3,4}，AIB??； 当a?1时，A?{1,3}，则AUB?{1,3,4}，AIB?{1}； 当a?4时，A?{3,4}，则AUB?{1,3,4}，AIB?{4}；
当a?3且a?1且a?4时，A?{3,a}，则AUB?{1,3,4,a}，AIB??.
点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x|x2?4x?0}， B ={x|x2?2(a?1)x?a2?1?0，a?R}，若AIB=B，求实数a的值．
解：先化简集合A={?4,0}. 由AIB=B，则B?A，可知集合B可为?，或为{0}，或{－4}，或{?4,0}.
(i)若B=?，则??4(a?1)2?4(a2?1)?0，解得a＜?1； (ii)若0?B，代入得a2?1=0?a=1或a=?1， 当a=1时，B=A，符合题意；
当a=?1时，B={0}?A，也符合题意．
(iii)若－4?B，代入得a2?8a?7?0?a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意；
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（完整word版）人教版高一数学必修一 - 第一章 - 知识点与习题讲解
