课程编号：MTH17060
北京理工大学2012-2013学年第一学期
2010级泛函分析试题（A卷）
一、（10分）设T是赋范线性空间X到自身的线性映射。证明以下三条等价： （1）T连续； （2）T在零点连续； （3）T有界。 二、（10分）设H是Hilbert空间。证明： （1）若xn?x，则对于任意固定的y?H，?xn,y???x,y?； （2）若xn?x，yn?y，则?xn,yn???x,y?。
三、（10分）设H是Hilbert空间，A?B?H?且存在m?0使得?x?H,?Ax,x??mx，证明：存在A?1?B?H?。
四、（10分）设H是Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：M在H中稠密的充分必要条件是M?????。 注：M仅为H的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设C?0,1?为区间?0,1?上连续函数的全体，对于f?C?0,1?， 令f?maxf?x?。证明：
x??0,1?2（1）C?0,1?是完备的赋范线性空间，即Banach空间；
（2）对于t??0,1?，令Ft?f??f?t?，则Ft是C?0,1?上线性有界泛函，求Ft。
2六、（15分）设f,fk?L?0,1?,k?1,2,L，且fk?f,a.e.?0,1?。证明：limfk?f当
k??12??22且仅当limfk?f?0，其中f???f?x?dx?,f?L?0,1?。
k????0,1????七、（15分）设f1,f2是Hilbert空间H上的线性无关的线性有界泛函，M?kerf1证明：（1）M是闭的线性子空间；
（2）存在y1,y2?H使得对于x?H，有x?x0??1y1??2y2，其中x0为x在M上的正交投影，?1,?2?￡。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。） 八、（15分）在C?0,1?上分别令x（1）分别证明
和
?Ikerf2。
?maxx?t?,x1??x?t?dt，其中x?C?0,1?。
t??0,1?01?1是C?0,1?上的范数；（2）比较这两种范数的强弱；
（3）它们是否等价？给出理由。（要求使用两种方法）
注：2010级为闭卷
课程编号：MTH17060
北京理工大学2013-2014学年第一学期
2011级泛函分析试题（A卷）
一、（1）给出赋范线性空间的定义，证明范数是连续的一元函数； （2）给出距离空间的定义，证明距离是连续的二元函数； （3）证明赋范线性空间构成距离空间；
（4）距离空间是否为赋范线性空间？举出反例或给出证明。（试举两类反例） 二、设B是Banach空间，f是B上的线性泛函。证明以下五条等价： （1）f连续；（2）f在某点连续；（3）f在零点连续；（4）f有界；
（5）kerf是闭线性子空间。（比较条件（2）与条件（2’）：f在任意某点连续的区别！） 三、设X,Y均为内积空间，B?X,Y?为X到Y的线性有界算子全体，对于T?B?X,Y?，令T?supTx。证明：
x?1（1）B?X,Y?是赋范线性空间； （2）若Y完备，则B?X,Y?完备。
四、设f,fn?L?0,1?,1?p??,n?1,2,L，证明：fn?? ?f当且仅当以下条件成立：
pLp（1）fnp?f?f ； （2）fn??pm注：p??时充分性不成立，试举反例。
五、考虑实Hilbert空间L?0,1?，设g?L?0,1?,?f?L?0,1?，定义L?0,1?上的泛函为
2222F?f???0,1??f?x?g?x?dx，证明F是线性连续泛函，并求
F。
六、设?en?,?fn?是Hilbert空间H中的两个标准正交集，满足条件求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。
?n?1?en?fn2?1。
七、设H是Hilbert空间，A?B?H?且存在m?0使得?x?H,?Ax,x??mx，证明：（1）A是单射；（2）A是满射；（3）判断A是否有界？并给出理由。
?12注：2011级为半开卷
另注：2012级为闭卷
课程编号：MTH17060
北京理工大学2015-2016学年第一学期
2013级泛函分析试题（B卷）
一、（30分）考虑二维平面?2，对于x??x1,x2????，定义x1?x1?x2。
2（1）证明?2,?1是赋范线性空间；（2）证明?2,?1是Banach空间； （3）画出?2????中单位圆x???2x1?1的图形；
?（4）?2,?1是否为内积空间？请说明理由； （（2）（5）问请各用两种方法证明！） （5）在?2??中定义另一种范数x2?x1?x2，问：在?2上?1和?2是否等价？
22（6）令A???a11a12?2?，其中a11,a12,a21,a22??，则A是??,?1?上的线性变换，证明：
?a21a22?A是线性有界算子，并求A。
二、（10分）设X和Y是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，证明以下两条等价： （1）T连续 （2）T有界
三、（10分）设?fn?和?gn?是L2?0,1?上的标准正交系， 若它们满足
???fn?x??gn?x?dx?1，证明：?fn?是L2?0,1?上的标准正交基的充分必
22n?1?0,1?要条件是?gn?是L?0,1?上的标准正交基。
四、（因课时充足新加的内容）（10分）设A是无穷维Hilbert空间H上的紧算子，证明： （1）A是H上的线性有界算子；（2）A不存在有界逆。（试各用两种方法证明！） 五、（10分）设X是Banach空间，f是X上线性泛函，证明f有界的充分必要条件是kerf是X的闭线性子空间。
*六、（10分）设x1,L,xn是赋范线性空间X中的线性无关元，证明?fi?X,i?1,L,n，使
得fixj??ij,i,j?1,L,n。（试用两种方法证明！） 七、（20分）（1）给定函数y????C?0,1?，常数?满足
t????1，考虑积分方程： e?1x?t????et?sx?s?ds?y?t?,t??0,1?，证明此方程在C?0,1?中有唯一解；
0（2）对于t??0,1?,f?C?0,1?，令Ft?f??f?t?，证明Ft是C?0,1?上有界线性泛函，并求其算子范数。 （若将（1）的条件改为
??1，能否得出结论）
注：2013级为闭卷
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
