第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
???2u22?u??t2?a?x20?x?l,t?0 ??u?u?x?0?0,?x?0 x?l??2?u?ut?0?x?2lx,?t?0t?0解：分离变量，即令
u(x,t)?X(x)T(t) 代入方程（（1）中第一式），得
T??(t)??a2T(t)?0 X??(x)??X(x)?0 其中?为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
X(0)?X?(l)?0 相应的本证值问题为求
??X??(x)??X(x)?0?X(0)?X?(l)?0 的非零解．下面针对?的取值情况进行讨论：
（1）当??0时，（6）式中方程的通解是 X(x)?Ae???x?Be??x 其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
???A?B?0???Ae???l?Be??l?0 由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有??0。
(2) 当??0时，（6）式中方程的通解是 X(x)?Ax?B
由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有??0。 （3）当 ???2?0时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为1）2） 3）4）5）6）7）（8） （ （ （
（
（
（ （
X(x)?Acos?x?Bsin?x
代入条件（6）中边界条件，得
A?0,Bcos?l?0
由于 B?0，故 cos?l?0，即
??从而得到一系列固有值与固有函数
2n?1?2l(n?0,1,2,?)
(2n?1)2?2?n? 24lXn(x)?Bnsin(2n?1)?x(n?0,1,2,?) 2l(n?0,1,2,?)
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
?cosTn(t)?Cn(2n?1)?a(2n?1)?a?sint?Dnt2l2l于是，所求定解问题的解可表示为
(2n?1)?a(2n?1)?a?(2n?1)??u(x,t)???Cncost?Dnsint?sinx
2l2l2l??n?0?利用初始条件确定其中的任意常数Cn,Dn，得
Dn?0
2l2(2n?1)?Cn??(x?2lx)sinxdxl02l 232l??(2n?1)3?3故所求的解为
u(x,t)??32l2?31(2n?1)?a(2n?1)??costsinx ?3(2n?1)2l2ln?0?
例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l，被拨开的点在弦长的解定解问题
1(n0为正整数)处，拨开距离为h，试求解弦的振动，即求n0?utt?a2uxx?0(0?x?l)??u|x?0?u|x?l?01??n0hx(0?x?)??l?n0
??1u|??t?0?h(l?x)(?l)?l?n0l???n0????ut|t?0?0解：将u(x,t)?X(x)T(t)代入原方程及边界条件得
T''??a2T?0 ??X''??X?0(0)?X(l)?0 ?X解(2)第一式可得
X(x)?Ccos?x?Dsin?x
由（2）的第二式得
??n2?2nl2，
Xn(x)?Dn?xnsinl,n?1,2,3,?
将?代入（1）并解得
Tn?atn?atn(t)?Ancosl?Bnsinl ?u(x,t)??(An?atncosn?1l?Bn?atn?xnsinl)sinl由初始条件得
?n0hx(0?x?1)???ln0Acosn?at??n?h(l?x)1 n?1l?(?l)??l?ln0n0n?a?l?Bncosn?atlsinn?xl?0 n?1所以
Bn?0
1）2）（
（
1lh(l?x)2n0n0hxn?xAn?[?sindx??1dx0lllln0l?n0 22n0hn??22sinn0n?(n0?1)从而
2?2n0h1n?n?atn?x u(x,t)?2sincossin?2n0ll?(n0?1)n?1n例3 求解细杆的导热问题，杆长l，两端保持零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/t. 解：该问题的定解问题为
2?ut?a2uxx?bx(l?x)? ?u|t?0? （1） 2l???u|x?0?u|x?l?0令u(x,t)?X(x)T(t), 代入(1)第一式可得，
X(x)??X(x)?0 （2） T(t)?a?T(t)?0 （3） 由(2)得
X(x)?Acos?x?Bsin?x （4） 由(1)第三式可得
'2''X(0)T(t)?0，X(l)T(t)?0
因为??0所以X(0)?X(l)?0
由X(0)?0得A?0，
n2?2由X(l)?Bsin?l?0，B?0得?n?l2(n?1,2,3,?)， 于是有
222n?at?n?x?a2?ntXn?Bnsin，Tn(t)?Cne?Cnell(n?1,2,3,)，
因此
un(x,t)?Cne?n2?2a2tlsinn?x， lu(x,t)??Cnen?1??n2?2a2tlsinn?x l将
bx(l?x)作Fourier展开得 2lbx(l?x)?n?x?Bsin ?nll2n?1其中
B2lbx(l?x)nn?l?0t2sin?xldx?4b
n3?3[1?cosn?](n?1,2,3,?)于是
Cn?Bn?4bn3?3[1?cosn?](n?1,2,3,?)
因此
?4bn2?2a2tu(x,t)??l2n3?3[1?cosn?]esinn?xn?1l?(2k?1)2?2a2t??8bl2sin2k?1k?1(2k?1)3?3el?x例4 在矩形域 0?x?a,0?y?b内求Laplace方程
?2u??2u?x2??2u?y2?0 的解，使其满足边界条件
? ?u?x?0?0u x?a?Ay ??uyy?0?0u yy?b?0解：令 u(x,y)?X(x)Y(y)，代入式(1)，有
X??(x)??X(x)?0 Y??(y)??Y(y)?0 又由边界条件(3)得
Y?(0)?Y?(b)?0 当??0时，式(5)的通解为
Y(y)?C???y1e?C??y2e
1）(2)(3)4）5）(6)
（
（ （
北邮数理方程课件 第三章 分离变量法
