2014年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
1(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，(1) 当x?0时，若ln(1?2x)，则?的取值范围是( )
(A) (2,??)
(B) (1,2)
(C) (,1)
??12
(D) (0,)
12(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) y?x?sinx (C) y?x?sin
(B) y?x?sinx (D) y?x?sin221 x1 x(3) 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]上 （ ）
(A) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (C) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x)
(B) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (D) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x)
2??x?t?7(4) 曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是 （ ） 2??y?t?4t?1 (A)
10 50 (B)
10 100
(C)1010
(D)510 (5) 设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf?(?)，则limx?0?2x2? （ ）
(D)
(A)1
(B)
2 3 (C)
1 21 3?2u(6) 设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足?0?x?y?2u?2u及2?2?0，则 （ ） ?x?y(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得
(C) u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得 (D) u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得
0a(7) 行列式
b0d020b0d
(B) ?(ad?bc) (D) bc?ad
22222a00cc0? （ ）
(A) (ad?bc) (C) ad?bc
2222(8) 设?1,?2,?3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量组
?1,?2,?3线性无关的 （ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．((9)
1???x2?2x?5dx?__________.
1(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f?(x)?2(x?1),2yzx?[0,2]，则f(7)?__________.
(11) 设z?z(x,y)是由方程e?x?y2?z?7确定的函数，则dz411(,)22?__________.
(12) 曲线r?r(?)的极坐标方程是r??，则L在点(r,?)?(__________.
??,)处的切线的直角坐标方程是
222(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度??x???x?2x?1,则该细棒的质心坐标x?__________.
(14) 设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围为
22_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
?求极限limx???x1?2?1??t?t?e?1??t?dt??????.
?1?x2ln?1???x?22(16)(本题满分10分)
已知函数y?y?x?满足微分方程x?yy??1?y?，且y?2??0，求y?x?的极大值和极小 值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域D???x,y?1?x2?y?4,x?0,y?0,计算??D2?xsin?x2?y2x?y??dxdy.
(18)(本题满分10分)
?2z?2zx2x设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足2?2?(4z?ecosy)e，若
?x?yxf(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)的区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1.证明： (I)0?(II)
?xabg(t)dt?x?a,x?[a,b],
?a?a?ag(t)dtf(x)dx?bf(x)g(x)dx.
?a(20)(本题满分11分)
设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列f1(x)?f(x),f2(x)?f(f1(x)),L, 1?xfn(x)?f(fn?1(x)),L，记Sn是由曲线y?fn(x)，直线x?1及x轴所围成平面图形的面积，求
极限limnSn.
n??(21)(本题满分11分) 已知函数f(x,y)满足
?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny,求曲线f(x,y)?0?y所围成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)
?1?23?4??? 设矩阵A?01?11，E为三阶单位矩阵.
???120?3???(I)求方程组Ax?0的一个基础解系； (II)求满足AB?E的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
?11L?11L 证明n阶矩阵??MMM??11L1??0??1??0和?M?M??1??0L01??L02?相似. ?MMM?L0n?2014年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题答案
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
1(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，(1) 当x?0时，若ln(1?2x)，则?的取值范围是( )
(A) (2,??) 【答案】B
(B) (1,2)
(C) (,1)
??12
(D) (0,)
12ln?(1?2x)(2x)??lim?lim2?x??1?0 【分析】由定义 limx?0x?0x?0xx 所以??1?0，故??1.
21?当x?0时，(1?cosx)?~x?1是比x的高阶无穷小，所以
22? 故选B
??1?0，即??2.
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) y?x?sinx (C) y?x?sin【答案】C
(B) y?x?sinx (D) y?x?sin221 x1 xx?sin【分析】关于C选项：limx??11sinx?lim1?limx?1?0?1.
x??x??xx
111lim[x?sin?x]?limsin?0，所以y?x?sin存在斜渐近线y?x. x??x??xxx故选C
(3) 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]上 （ ）
(A) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (C) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【答案】D
【分析】令F(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x?f(x)，则
(B) 当f?(x)?0时，f(x)?g(x) (D) 当f??(x)?0时，f(x)?g(x)
F(0)?F(1)?0,
F?(x)??f(0)?f(1)?f?(x),F??(x)??f??(x).
若f??(x)?0，则F??(x)?0，F(x)在[0,1]上为凸的.
又F(0)?F(1)?0，所以当x?[0,1]时，F(x)?0，从而g(x)?f(x). 故选D.
2??x?t?7(4) 曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是 （ ） 2??y?t?4t?1(A)
10 50 (B)
10 100
(C)1010
(D)510 【答案】C 【分析】
dydx2t?1?2t?42t't?1?3?
t?122dydyt?t?1?2t?1dxdx2t??1k?y''?1?y?3'22?1?1?q?32,?R?1?1010 k故选C
2014年数学二真题及答案解析
