平方差公式与完全平方公式的应用
一、利用公式判断因式分解的正误 例1 （ 2014?福建?泉州）分解因式xA. y(x+2y-y32结果正确的是（ ）
y)2 B. y(x-y)2 C. y(x-y)D. y(x-y)(x+y)
2 分析： 解答时，要遵循两点：一是先用提取公因式法分解；二是看余项符合哪一个公式，再用公式进行分解，注意分解时一定要彻底． 解：x2y-y3= y(x2-y)= y(x-y)(x+y)，所以应该选择D．
2点评：熟练应用平方差公式是解题关键． 二、利用公式确定因式分解的最后结果 例2 （2014?呼和浩特）把多项式6xy2-9xy-y23因式分解，最后结果为 ．
分析：解答时，我们要尽量保持最高次项的系数为正，后按照常规解题思路解答即可． 解：6xy2-9xy-y3x)223=-（y3-6xy+9xy）=-y（y-6xy+9x2222）
=- y(y-.
点评： 熟练掌握完全平方公式是解题关键． 三、利用平方差公式分解因式求值
例3 （2014?广东?汕尾）已知a+b=4，a﹣b=3，则a分析：根据a222-b= ．
2（a﹣b），然后代入求解． -b=（a+b）
2解：因为a+b=4，a﹣b=3，且a22（a﹣b），所以 -b=（a+b）
2（a﹣b）=4×3=12．所以应该填：12． a-b=（a+b）
点评：熟练应用平方差公式，把被求解的对象化归为已知条件表达的方式，后代入求解即可． 四、利用平方差公式分解因式，探求分解项的值
例4 （2014?益阳）若x﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= ．
分析：解答时的基本思路是：一是直接用公式分解因式；二是比较分解后因式，按照对应
项相同的原则，求出需要的答案．
2
解：因为x﹣9=（x-3）(x+3)，且x﹣9=（x﹣3）（x+a），所以x+3= x+a，所以a=3. 点评：理解因式分解实质是恒等变形，所以对应项是相同是解题的关键．
五、利用平方差公式，探求等式变化中的规律
例5（ 2014?安徽省）观察下列关于自然数的等式：
223-4?1=5 ①，5-4?2=9 ②，7-4?3=13 ③…
根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：9﹣4×-22222222= ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． 解： （1）因为322-4?1=5 ①，5-4?2=9 ②，7-4?3=13 ③…
222222所以9﹣4×-= =9﹣4×4=17；
222（2）第n个等式为：(2n+1)证明：因为左边=(2n+1)2-4n=2（2n+1）﹣1；
2-4n=(2n+1)-(2n)=(2n+1+2n)(2n+1-2n)=4n+1
2222右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边，所以(2n+1)的猜想是正确的．
-4n=2（2n+1）﹣1；
2点评：找出数字之间的运算规律，充分利用平方差公式就可以顺利完成猜想的证明． 六、用平方差公式探求图形覆盖中的面积大小
例6 （2014?宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
分析：未被覆盖图形的面积和等于图2中正方形的面积与图1中正方形的面积的差，因此求得两个正方形的边长便成为解题的关键．
解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
ìx1+2x2=a?a+ba-b?，解得，x1=，x2=，所以大正方形中未被小正方形覆盖部分í?x-2x=b242??1的面积=(a+b2a-b2)-()×4=ab．所以应该填ab． 24点评：正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．
七 、用平方差公式完成恒变形结果的猜想
例7 （2014?临沂）请你计算： (1+x)(1-x)，(1?x)(1?x?x2)，…， 猜想(1?x)(1?x?x2?…?xn)的结果是( )
（A）1?xn?1． （B）1?xn?1． （C）1?xn （D）1?xn．
分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问题就顺利破解．
解：(1+x)(1-x)=1-x，(1?x)(1?x?x2)=1-x，…，规律为结果的第一项是数字1，保持不变，运算为减法，第二项的底数为x，指数等数多项式中最高次数加1，所以
23(1?x)(1?x?x2?…?xn)=1-xn+1，所以选择A．
点评：善于抓住问题的变量，常量找规律是解题的常用方法，要熟练掌握．
八、用完全平方公式，根据条件探求数列中0的个数 例8 （2014?扬州）设a1,a2,...,a2014是从1,0,?1这三个数中取值的一列数，若
a1?a2?...?a2014?69，(a1?1)2?(a2?1)2?...?(a2014?1)2?4001，则a1,a2,...,a2014中
为0的个数____________．
分析： 解答时，同学们要注意把握好两个重要因素，一是完全平方公式的展开要准确；二是正确确定数字1,0，-1的平方的幂值．
解： 因为(a1?1)?(a2?1)?...?(a2014?1)?4001，所以（a1+a2+…+a2014）+2（a1+a2+…+a2014）+（1+1++…+1）=4001，因为a1+a2+…+a2014=69，
222222
平方差公式与完全平方公式的应用技巧
