课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，1
原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是
3( )
A．8 C．－1
20B. 3D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
33A. cm2
2C．32 cm2
B．4 cm2 D．23 cm2
解析：选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
2
1?x?231?12－x?233?2x8x?，∴S′(x)＝3?4x－8?. －＋16则S(x)＝××＋××＝3?2?3?22?3?24?94?93?令S′(x)＝0，得x＝6， 当x∈(0,6)时，S′(x)＜0， 当x∈(6,12)时，S′(x)＞0， ∴当x＝6时，S(x)最小． ∴S＝3?1282××6－×6＋16?＝23(cm2)．
3?4?9
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，1??400x－2x2x
?已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝?x>4，?年生产的产品是( )
A．100 C．200
B．150 D．300
，
则总利润最大时，每
解析：选D 由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝x??300x－2－20 000，0≤x≤400，
? ??60 000－100x，x>400，
2
??300－x，0≤x≤400，P′＝?令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0
?－100，x>400，?
恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.4V 3C.4V
3B．2V 1D.V 2
4V
， 3x2
解析：选C 设底面边长为x，则高为h＝∴S表＝3×4V43V33
x＋2×x2＝＋x2， 2×x423x
43V
∴S表′＝－2＋3x，
x3令S表′＝0，得x＝4V.
3
经检验知，当x＝4V时，S表取得最小值．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( ) A．R 4C.R 3
B．2R 3D.R 4
解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V4R1π2π44
＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当0 V′>0；当 33 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2 和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆． 总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)． 令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2. ∴当x＝10时，L有最大值45.6. 答案：45.6 7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． x?xx ，0，点B坐标为?，1－?， 解析：设CD＝x，则点C坐标为??2??24?∴矩形ABCD的面积 2 2 ?1－x? S＝f(x)＝x·?4? x3 ＝－＋x，x∈(0,2)． 43 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 4得x1＝－22(舍)，x2＝， 33 2??0，∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的， 3??x∈ ?2，2?时，f′(x)＜0，f(x)是递减的， ?3? 243时，f(x)取最大值. 9343 9 当x＝答案： 2 8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件 75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件． 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题500知a＝. x 总利润y＝500x－ 23 x－1 200(x>0)， 75 2502 y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时， x25y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时， y取最大值． 答案：25 9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k (0≤x≤10)，3x＋5 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝＝8，得k＝40， 因此C(x)＝ 40 . 3x＋5 k ，再由C(0)3x＋5 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 40 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x 3x＋5＝ 800 ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 2 400x＋ 2， (2)f′(x)＝6－令f′(x)＝0，即 2 400x＋ 2＝6， 25 解得x＝5，x＝－(舍去)． 3 当0 800 ＝70. 15＋5 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元． 10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝ 3x (x∈N*)． 4x＋32 (1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)． 因为次品率p＝ 3x ，当每天生产x件时， 4x＋32 3x?3x?1－有x·件次品，有x ?4x＋32?件正品． 4x＋323x3x 所以T＝200x?1－4x＋32?－100x· ??4x＋32 64x－x2 ＝25·(x∈N*)． x＋8(2)T′＝－25·x＋ x＋ x－ 2， 由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)． 当0 层级二 应试能力达标 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y1 ＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) 3 A．13万件 C．9万件 B．11万件 D．7万件 解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值． 2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A．2πr2 C．4πr2 B．πr2 1D.πr2 2 解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t， 22则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r－r1. 4224∴S＝4πr2r21－r1. 令(rr1－r1)′＝0得r1＝ 2 r. 2 此时S＝4π· 2r·2 r2－ ?2r?2＝4π·2r·2r＝2πr2. 22?2? 3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为( ) A．80元 C．90元 B．85元 D．95元 解析：选B 设每件商品定价x元，依题意可得 利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)． L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝ 170 ＝85. 2 因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) R3A.和R 22 B. 545R和R 55
人教版高中数学选修2-2 课时跟踪检测(八) 生活中的优化问题举例
