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一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
1.四点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,1),C(0,0,1)组成的四面体的体积是______. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.
???????x?y663.点(1,0,1)到直线?的距离是______________.
113x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是__314___________. 7?x2?y2?z?05.曲线C:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,
?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.
?x2?2y6.曲线C:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线
?z?0C绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________.
x2y2z2???1的体积是_____7.椭球面9425____________.
二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）
1. 过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里
a,b,c是3个非零实数.
解: 设点P(a,b,c)在平面z?0上的射影点为M1(a,b,0)，在平面x?0上的射影
uuuuuur点为M2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为M3(a,0,c)，则M1M2?(?a,0,c)，uuuuuurM1M3?(0,?b,c)
x?auuuuuuruuuuuur于是M1，M1M2，M1M3所确定的平面方程是?a0.
y?bz0?bc?0 c精品文档
即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .
?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2?z?1?0?x?y?0:?. ?z?1?0(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是
v1?{1,?1,0} l2的标准方程是
xyz?1，l1经过点M1(0,0,?1)，方向向量??1?10xyz?2，l2经过点M2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于??110是
003uuuuuur(M1M2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。
110
(2) 由于v1?v2?(0,0,2)，v1?v2?2
l1和l2间的距离d?uuuuuuuuuuuur(M1M2,v1,v2)v1?v2?6?3 2?xyz?1??1?10?0?2?00(3)公垂线方程是?，即
?xyz?2?110?0?2??00
?x?y?0。 ??x?y?0?x2?2y3.求曲线?绕x轴旋转产生的曲面方面.
?z?1?x2?2y解：设M1(x1,y1,z1)是母线?上任意一点,则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程是
?z?1?x2?y2?z2?x12?y12?z12，（1） ?x?x1?0?.
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?x12?2y1又? ，（2） ?z1?1由（1）（2）消去x1,y1,z1得到x2?2y2?2z2?2?0.
x2y2z24.已知单叶双曲面???1,P(2,0,0)为腰椭圆上的点,
4925(1)求经过点P两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面?的方程及平面?与腰椭圆所在平面的夹角.
y?xzw(?)?u(1?)??253解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是?与
xzy?u(?)?w(1?)?3?25y?xzt(?)?v(1?)??253 ?xzy?v(?)?t(1?)?3?25把点P(2,0,0)分别代入上面两方程组，求得w?u,t?v代入直母线方程，
yy?xz?xz??1???1????25?2533得到过点P(2,0,0)的两条直母线?与?，即
xzyxzy???1????1???33?25?25?15x?10y?6z?30?0与 ??15x?10y?6z?30?0?15x?10y?6z?30?0 ?15x?10y?6z?30?0?两直母线的方向向量可分别取v1?(0,3,5)和v2?(0,3,?5)，设两直母线的夹角是?，则有cos??v1?v2?88?，????arccos. v1v21717x?2（2）两直母线所在平面?的方程是
y3z005?0，即x?2
3?5.
大一下学期解析几何考试试卷及答案
