2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题：1:10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
?（1） 当x?0时，与x等价的无穷小量是（ ）
A.1?ex B.ln1?x C.1?x?1 D.1?cosx
1?x【答案】(B)
【考点】等价无穷小 【难易度】★★
【详解】解析：方法1：排斥法：
?由几个常见的等价无穷小，当x?0时，此时x?0，
所以1?ex:(?x);1?x?1:11x;1?cosx:(x)2,可以排除A、C、D，22所以选（B）.
?x?x?1?x1?x?x?x?ln方法2： ln 1??ln????1?x1?x1?x??当x?0时，1??x?1，x?x?0，又因为x?0时，ln?1?x?:x，所以
1?x?x?x?x?xln??1?1?x??~1?x~x?x?x??
（2） 函数f(x)?1x?x?1~x，选（B）.
?(e?e)tanxx(e?e)1x在???,??上的第一类间断点是x?（ ）
A. 0 B.1 C. ?【答案】( A)
【考点】第一类间断点 【难易度】★★
?? D. 22【详解】解析：首先找出f(x)的所有不连续点，然后考虑f(x)在间断点处的极限.
?，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点。 2逐个考虑各个选项即可，对A.
f(x)的不连续点为0、1、?x?0limf(x)?lim??x?0(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0e?ee?e1x1x?lim?x?0e(1?ee(1?e1?1x1x))1??1,1?? x11lime?e???(ex?e)tanxex?ex?0???e??1.limf(x)?lim?lim?111x?0?x?0?x?0????exx(ex?e)ex?elim?e?e?x?0???f?x??limf?x?，所以x?0是f(x)的第一类间断f(x)在x?0存在左右极限，但lim??x?0x?0点，选（A）；
同样，可以验证其余选项是第二类间断点，limf?x???，limf?x???，
x?1x??2limf?x???.
x???2
（3） 如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半
圆周,在区间??2,0?,?0,2?上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设
F(x)??f(t)dt,则下列结论正确的是（ ）
0xy -3 -2 -1 O 1 2 3 x
35F(?2) B.F(3)?F(2) 4435 C.F(?3) ?F(2) D.F(?3)??F(?2)
44 A.F(3)??【答案】( C)
【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★
【详解】解析：由题给条件知，f(x)为x的奇函数，则f(?x)??f(x)，由
F(x)??f(t)dt,知
0xF(?x)???x0f(t)dt?t??u??f(?u)d(?u)??f(?u)??f(u)??f(u)du?F(x)，故F(x)为
00xxx的偶函数，所以F(?3)?F(3).而
F(2)??f(t)dt表示半径R?1的半圆的面积，所以F(2)??f(t)dt?022?R220??2，
F(3)??f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt，其中?f(t)dt表示半径r?002232331的半圆的面积2的负值，所以
?32f(t)dt???r2220????1?32????? 2?2?8?所以F(3)??30f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt?2?2??8?3?3?3???F(2) 8424所以F(?3)?F(3)?
3F(2)，选择( C) 4（4） 设函数f(x)在x?0连续，则下列命题错误的是（ ）
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 B.若lim存在，则f(0)?0
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) C.若lim存在，则f?(0)存在 D.若lim存在，则f?(0)存在
x?0x?0xx A. 若lim【答案】( D)
【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念 【难易度】★★
【详解】解析：方法1:论证法，证明A.B.C都正确，从而只有D.不正确。
f(x)存在及f(x)在x?0处连续，所以
x?0xf(x)f(x)f(x)所以（A）正确； x)?lim?limx?0?limf(0)?limf(x)?lim(?0，
x?0x?0x?0x?0x?0xxxf(x)?f(0)f(x)由选项（A）知，f(0)?0，所以lim存在，根据导数定义，?limx?0x?0x?0xf(x)?f(0)存在，所以（C）也正确； f'(0)?limx?0x?0由lim由f(x)在x?0处连续，所以f(?x)在x?0处连续，从而
lim?f(x)?f(?x)??limf(x)?limf(?x)?f(0)?f(0)?2f(0)
x?0x?0x?0f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?f(x)?f(?x)?2f(0)?lim??x??lim?limx?0?lim?0，即
x?0x?0x?0x?0xxx??有f(0)?0.所以（B）正确，故此题选择（D）.
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
