专题限时集训(五) 概率
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
1．[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
C [法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
70
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
100故选C.
法二：用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》70
的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.]
100
2．已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
1112A. B. C. D. 6323
B [∵f(2)＝6，∴2＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，
21
故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.]
633．标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )
1132A. B. C. D. 2555
A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种．故抽取的第1张卡
- 1 -
2
xx101
片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝＝，故选A.]
202
2x－y≥0，??
4．(2019·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足?y≥0，
??x－a≤0
的点(x，
y)构成区域的面积大于1的概率是( )
1113
A. B. C. D. 8424
2x－y≥0，??
C [作出约束条件?y≥0，
??x－a≤0
表示的平面区域如图中阴影部分
12
所示，则阴影部分的面积S＝×a×2a＝a＞1，∴1＜a＜2，根据几何概型的概率计算公式得
22－11
所求概率为＝，故选C.]
2－02
5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.3π
10
B.3π 20
3πC．1－ 10
3πD．1－
20
D [如图，直角三角形的斜边长为8＋15＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr＝9π，∴9π3π
豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.]
120×8×152
6．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
0．98 [x＝
10×0.97＋20×0.98＋10×0.99
＝0.98.
10＋20＋10
2
22
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]
7．已知实数x，y满足|x|≤3，|y|≤2，则任取其中的一对实数x，y，使得x＋y≤4的概率为________．
2
2
- 2 -
π
[如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x|≤3，|y|≤2的点在6
矩形ABCD内(包括边界)，使得x＋y≤4的点在图中圆O内(包括边界)．由题意知，S矩形ABCD＝4×6＝24，S圆O＝4π，故任取其中的一对实数x，y，使得x＋y≤4的概率P＝
2
2
2
2
S圆OS矩形ABCD＝
4ππ
＝.] 246
8．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．
1
[从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，2
ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的
种数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三51
角形的概率P＝＝.] 102
[能力提升练] (建议用时：15分钟)
9．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：
停靠时间 轮船数量 2.5 12 3 12 3.5 17 4 20 4.5 15 5 13 5.5 8 6 3 (1)设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值； (2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
[解] (1)a＝
1
×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15100
＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.
(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，
??0＜x≤24则?
?0＜y≤24.?
若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y－x|＜4， 符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x，y轴)所示．
记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A， 1
24×24－2××20×20
211
则P(A)＝＝.
24×2436
- 3 -
11
所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为. 36
10．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：
舒适型 标准型 A类轿车 100 300 B类轿车 150 450 C类轿车 z 600 按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数
xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为x，求|xi－x|≤0.5的概率．
50
[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝
n10
，所以n＝2 000，则z100＋300
＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
400a(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，
1 0005所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，
其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，
B2)，(A2，B3)，共7个．
77
故P(E)＝，即所求的概率为.
1010
1
(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件
8“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－x|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个．
633
所以P(D)＝＝，即所求的概率为. 844
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题号 内容 押题依据 本题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中，既为几何概1 几何概型 型输送了新鲜的“血液”，又为圆的知识找到了坚定的“着陆点”，使呆板、平淡的几何概型充满活力，很好地考查了考生的直观想象和数学运算的核心素养 频率分布2 直方图、分层抽样、概率
【押题1】 如图，半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.若在该半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是( )
13313A. B. C. D. 716816
C [设小圆的半径为r，因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1，所以阴影部分的122222
面积S1＝π(2r)－πr＝3πr，半圆的面积S＝π(4r)＝8πr，根据几何概型的概率计算
2
本题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相交汇的试题，设问角度新颖、典型，有代表性，意在考查考生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养 S13πr23
公式，得该点取自阴影部分的概率P＝＝＝.故选C.]
S8πr28
【押题2】 临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，品质优良等特点而著称．临潼石榴名居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人．”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示：
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)内的石榴中随机抽取5个，再从这5个石榴中随机抽取2个，求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据，以频率代表概率，已知该村大约还有100 000
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2020版高考数学二轮复习专题限时集训5概率文
