宜宾市第四中学2024年春高三三诊模拟考试
理科数学
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。） 1．已知集合A??0,2?,B???1,1,0,1,2?，则A?B? （ ） A．?0,2?
B．?1,2?
C．?0?
D．??2,?1,0,1,2?
2．在复平面内，已知复数z对应的点与复数1?i对应的点关于实轴对称，则A．1?i
B．?1?i
C．?1?i
D．1?i
z? （ ） i3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为 （ ）
A．6500元 A．3
B．7000元 B．7
C．7500元 C．10
D．8000元 D．4
4．等差数列{an}的前9项的和等于前4项的和，若a1?1,ak?a4?0，则k? （ ） 5．将三个数70.3，0.37，ln0.3从小到大排列得 （ ）
A．ln0.3?70.3?0.37 B．ln0.3?0.37?70.3 C．0.37?ln0.3?70.3 D．70.3?ln0.3?0.37 6．函数
f(x)?sin(2x?)的图象与函数g(x)的图象关于直线x?对称，则关于函数y?g(x)以下说
82?2
对称
B．在?0,??法正确的是 （ ）
A．最大值为1，图象关于直线x?C．在??????上单调递减，为奇函数 ?4??3????3??,?上单调递增，为偶函数 ,0?对称 D．周期为?，图象关于点??88??8?7．已知m,n是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面，给出下列命题：
①若mP?，m?n，则n??；②若m??，nP?，则m?n； ③若m,n是异面直线，m??，mP?，n??，nP?，则?∥?； ④若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.，其中为真命题的是 （ ） A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④
8．岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种 A．24
B．36 C．42
- 1 -
D．60
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 （ ） A．乙、丁可以知道自己的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩
B．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
10．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在直线CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为?，则sin?的取值范围是 （ ）
?6?,1? A．?3??取值范围是 （ ） A．(??,e)
?3?
,1? B．?3???622?,C．?? 33???36?,D．?? 33??11．已知函数f(x)?x2?ex(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的
B．(??,)
1eC．(?,e)
1eD．(?e,)
1ex2y212．已知直线x?y?1与椭圆2?2?1(a?b?0)交于P,Q两点，且OP?OQ（其中O为坐标原点），
ab若椭圆的离心率e满足A．[5,6]
32，则椭圆长轴的取值范围是 （ ） ?e?32B．[56,] 22C．[,]
5342D．[,3]
52
二、填空题：（ 本题共4小题，每小题5分，共20分。）
?x?y?1?0?13．若实数x,y满足约束条件?x?y?3?0，则2x?3y的最大值为__________.
?x?3?0?14．已知随机变量?~B(6,p)，且E(?)?2，则D(3??2)?______. 15．已知4sin??3cos??0，则sin2??3cos2?的值为____________.
16．在边长为23的菱形ABCD中，A?60?，沿对角线BD折起，使二面角A?BD?C的大小为120?，这时点A,B,C,D在同一个球面上，则该球的表面积为____.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．cm）将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
- 2 -
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE. （Ⅰ）求证：平面SBC⊥平面SAE
（Ⅱ）若G为DE中点，求二面角G﹣AF﹣E的大小.
19．（12分）已知函数f(x)?4cosxsin(x?（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若sinx?a?f(x?
20．（12分）已知函数f(x)?lnx?2?6)?1.
?6)?1?6cos4x对任意x?(???,)恒成立，求实数a的取值范围. 44a,(a?R). x（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值；
?2（Ⅱ）判断函数f(x)在区间[e,??)上零点的个数.
- 3 -
x2y221．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:??1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为
43椭圆C上两点，圆O:x?y?r(r?0).
（Ⅰ）若PF?x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程； （Ⅱ）若圆O的半径为2，点P，Q满足kOP?kOQ??2223，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值. 4
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?1?txOy在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极
y?3?t?轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为??2cos?，点P是曲线C1上的动点，点Q在OP的延长线上，
且|PQ|?3|OP|，点Q的轨迹为C2． （Ⅰ）求直线l及曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线???(0???|ON|π)与直线l交于点M，与曲线C2交于点N（与原点不重合），求的最
|OM|2大值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f?x??m?x?2，m?R，且f?x?2??0的解集为??1,1? （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R，且
111???m，求证a?2b?3c?9 a2b3c
- 4 -
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．B
6．B
7．A
8．D
9．A
10．A
11．A
12．A
13．6
14．12
15．
24 2516．28?
17．解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“高个子”有8?51?， 20411?2人，“非高个子”有12??3人 44用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
C3237? 则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”， 则P?A??1?2?1?C51010因此，至少有一人是“高个子”的概率是
7 10（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为0,1,2,3．
312C4C4C431P?X?0??3?， P?X?1???， 3C814C87213C4C43C41P?X?2???PX?3??，?． ?33C87C814因此，X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 143 73 71 14所以X的数学期望EX?0?13313?1??2??3??. 147714218．（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，又∵AC＝AB，且点E是BC的中点，
∴BC⊥AE，∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，∵BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAE． （2）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O﹣xyz，
1，0），C（2，0，0），B（0，2，0）， 2uuuruuuruuur2222221由SF＝2FE得F（，，），∴AE＝（1，1，0），AF＝（，，），AG＝（1，，0），
3333332uuurBC＝（2，﹣2，0）.
则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，
22?2x?y?z?0?ur?333设平面AFG的法向量为m＝（x，y，z），则?，令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，
1?x?y?0?2?urr即m＝（﹣1，2，﹣1），设平面AFE的法向量为n，
- 5 -
宜宾市第四中学2024届高三三诊模拟考试数学（理）试题（含答案）
