【规律方法】 利用空间向量计算二面角大小的常用方法：
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
【训练3】 (2018·安徽六校第二次联考)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.
(1)求证：EF∥平面BCC1B1；
(2)(一题多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.
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考点四 用空间向量求空间距离(供选用)
【例4】 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离.
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【规律方法】
1.空间中两点间的距离的求法
两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除了使用距离公式外，还可转化为求向量的模.
2.求点P到平面α的距离的三个步骤：
→
(1)在平面α内取一点A，确定向量PA的坐标表示； (2)确定平面α的法向量n； →|PA·n|
(3)代入公式d＝求解.
|n|
【训练4】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________.
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【反思与感悟】
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.利用法向量求距离问题的程序思想方法 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度.
【易错防范】
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.利用向量法求二面角大小的注意点
(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；
(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求. (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A.120° C.30°
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B.60° D.60°或30°
2.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为( ) πA. 6
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为( )
πB. 4
πC. 3
πD. 2
A.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( ) 1232A. B. C. D. 2332
5.(2019·日照模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )
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3 2
B.
3 3
C.
5 3
D.6 3
专题7.7 利用空间向量求夹角与距离(距离供选用)-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
