第七篇 立体几何与空间向量
专题7.07 利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)
【考点聚焦突破】
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.3
2
B.
15 5
C.10 5
D.3 3
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( ) 5A. 8
【规律方法】
1
3B. 47C. 81D. 4
1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝
|v1·v2|
求解. |v1||v2|
π
0，?，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角2.两异面直线所成角的范围是θ∈??2?为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为( )
3
A. 5
2
B.
3 21C. 24D. 5
考点二 用空间向量求线面角
【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【规律方法】 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【训练2】 (2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，
3
专题7.7 利用空间向量求夹角与距离(距离供选用)-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
