等比数列
1、等比数列的定义:2、通项公式:
an?q?q?0??n?2,且n?N*?,q称为公比 an?1an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?,首项:a1;公比:q qn?m推广:an?amq3、等比中项:
?qn?m?ana?q?n?mn amamA2?ab或A??ab (1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项,即:
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
2(2)数列?an?是等比数列?an?an?1?an?1
4、等比数列的前n项和Sn公式:
(1)当q?1时,Sn?na1
(2)当q?1时,Sn?a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q?a1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'(A,B,A',B'为常数) 1?q1?q5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的n,都有an?1?qan或等比数列
2(2)等比中项:an?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列
an?1?q(q为常数,an?0)?{an}为an(3)通项公式:an?A?B6、等比数列的证明方法:
依据定义:若
n?A?B?0??{an}为等比数列
an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17、等比数列的性质:
n?m*(2)对任何m,n?N,在等比数列{an}中,有an?amq。
(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N),则an?am?as?at。特别的,当m?n?2k时,得
*an?am?ak2 注:a1?an?a2?an?1?a3an?2???
(4)数列{an},{bn}为等比数列,则数列{为非零常数)均为等比数列。
(5)数列{an}为等比数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列
(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (7)若{an}为等比数列,则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,???,成等比数列
(8)若{an}为等比数列,则数列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n,a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列
*ak},{k?an},{ank},{k?an?bn},{n}(kbnana1?0,则{an}为递增数列(9)①当q?1时,a1?0,则{an}为递减数列
{a1?0,则{an}为递减数列{②当0 ③当q?1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q?0时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列{an}中,当项数为2n(n?N)时,二 例题解析 【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.( ) A.是等比数列 B.当p≠0时是等比数列 B.C.当p≠0,p≠1时是等比数列 D.不是等比数列 【例2】 已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n. *S奇1? S偶q1【例3】 等比数列{an}中,(1)已知a2=4,a5=-,求通项公 2式;(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 【例4】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0 三、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用 1、数列?an?满足an??an?1?n?2?,a1?134,则a4?_________. 32、在数列?an?中,若a1?1,an?1?2an?1?n?1?,则该数列的通项an?______________. 考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列?an?的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2?( ) A.?4 B.?6 C.?8 D.?10 2、若a、b、c成等比数列,则函数y?ax?bx?c的图象与x轴交点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 23、已知数列?an?为等比数列,a3?2,a2?a4?考点三:等比数列及其前n项和的基本运算 20,求?an?的通项公式. 3912的等比数列的首项为,末项为,则这个数列的项数是( ) 833A.3 B.4 C.5 D.6 1、若公比为 2、已知等比数列?an?中,a3?3,a10?384,则该数列的通项an?_________________. 3、若?an?为等比数列,且2a4?a6?a5,则公比q?________. 4、设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则 2a1?a2的值为( ) 2a3?a411 C. D.1 8215、等比数列{an}中,公比q=且a2+a4+…+a100=30,则a1+a2+…+a100=______________. 2 A. 1 4B. 考点四:等比数列及其前n项和性质的应用 1、在等比数列?an?中,如果a6?6,a9?9,那么a3为( ) 316 C. D.2 292、如果?1,a,b,c,?9成等比数列,那么( ) A.b?3,ac?9 B.b??3,ac?9 C.b?3,ac??9 D.b??3,ac??9 A.4 B. 3、在等比数列?an?中,a1?1,a10?3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( ) A.81 B.27527 C.3 D.243 4、在等比数列?an?中,a9?a10?a?a?0?,a19?a20?b,则a99?a100等于( ) b10b9?b??b?A.8 B.?? C.9 D.?? aa?a??a?a3和a5是二次方程x?kx?5?0的两个根,5、在等比数列?an?中,则a2a4a6的值为( ) 2910A.25 B.55 C.?55 D.?55 6、若?an?是等比数列,且an?0,若a2a4?2a3a5?a4a6?25,那么a3?a5的值等于 考点五:公式an???S1,(n?1)的应用 ?Sn?Sn?1,(n?2)1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an,满足条件log2Sn=n,那么{an}是( ) A.公比为2的等比数列 B.公比为 1的等比数列 2C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 n 2、等比数列前n项和Sn=2-1,则前n项的平方和为( ) A.(2-1) n 2 B. 1n2 n1n (2-1)C.4-1 D.(4-1) 33n 3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3+r,那么r的值为______________. * 4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3,若对任意的n∈N都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前n项和Sn. 等比数列 一、选择题: 1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 2 ①{an}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列 ③{ ( ) 1}也是等比数列 an④{lnan}也是等比数列 A.4 B.3 C.2 D.1 2.等比数列{a n }中,已知a9 =-2,则此数列前17项之积为 ( ) 1616 1717 A.2 B.-2 C.2 D.-2 3.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21, 则公比q的值为 ( ) A.1 B.- 1 2C.1或-1 D.-1或 D.2 1 2( ) 4.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3等于 A.4 B. 3 2C. 16 95.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) 22 A.x-6x+25=0 B.x+12x+25=0 22 C.x+6x-25=0 D.x-12x+25=0 6.某工厂去年总产a,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的 总产值是( ) 4 565 A.1.1 a B.1.1 a C.1.1 a D. (1+1.1 )a 7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于 ( ) b9A.8 ab9 B.() ab10C.9 a D.( b10 ) a8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为 ( ) A.32 B.313 C.12 D.15 9.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A. n 11B.11n C.12n?1 D.11n?1 3010.已知等比数列?an?中,公比q?2,且a1?a2?a3?L?a30?2,那么a3?a6?a9?L?a30 等于 ( ) A.2 B.2 C.2 D.2 11.等比数列的前n项和Sn=k·3+1,则k的值为 A.全体实数 B.-1 C.1 二、填空题: 12.在等比数列{an}中,已知a1= n 10201615 D.3 ( ) 3,a4=12,则q=_____ ____,an=____ ____. 2
等比数列知识点总结及练习(含答案)
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