1
-求方程dx
习题 x y通过点(0,0) 的第三次近似
2
解。
解: f x,y
2yx ，令 0（x）
0，则
y。
yo
yo
x
x,
x, f xx
, 0
1 x -x
2
dx
dx
x
1 2 -xdx x 2
1 -x 2
2
0
1 2 1 5 -x dx 2 一x
20
yo
dx x 20
5
dx
8 1 5
x -- x 20
160
1
1
11
---- x 4400
为所求的第三次近似解。
3.求初值问题
2 dy 2
x y ,R: dx
x y
ijy 1,
（
1）
的解的存在区间, 计。 解：因为f
卫
M
1
并求第二次近似解, 给出在解的存在空间的误差估
2 2
h min a
x,y x y
myR X,
ax
f
y
4，所以
'从而解得存在区间为
又因为f x,y x2 y2在R上连续，
f/ y 2iy
L可得
f x,y在R上关于y满足 Lip
5
条件, 所以Cauchy问题(1)在
x 4有唯一解y
schitz
0，则
\\2dx
1
令 0(x) y
x,
dx
x,
dx dx
11 42
x x 18 63
4 7
误差为:
Lh 1 24
10.给定积分方程
b
K x,
a
(*)
其中f X是a,b上的已知连续函数, 已知连续函数。证明当
K x,
b上的
在a,b上存在唯 足够小时( 是常数)， (*)
一的连续解。
证明：分四个步骤来证明。
㈠.构造逐步逼近函数序列
b
K x, 0,1,2」||
a
由f x是a,b上的连续函数可得
0
x
在a,b上连续，故再由
K X, 是 a X b，
a
X在
b上的连续函数可得1 X在a,b上连续，由
数学归纳法易证
a,b上连续。
b
a
1 X
0 X
K X,
a b
f d
㈡.证明函数列
K X, f 在a,b上一致收敛。 a
考虑级数
X a, b
X k1 X
n
X
知, 的一致收敛性与级数 (2)的一致收敛性等价。
max f X
a
a
max, K X,
由(2)有
a X b
所以
max K X, max f
a X b, a b
a b
ML
b
K x,
a b a
K x,
x
,
ML2
ML
假设对正整数n， 有不等式
ML ,
n
a,b
b
K x,
a b a
K x,
K x,
MLn ,
a,b
MLn1
所以(3)对任意正整数 n都成
立。
因为 MLn为正项级数，且当
足够小时,
b a max K x,
a x b,
a b
故 ML
收敛，从而由 Weierstrass
判别法, 级数
x在a,b上一致收敛。
致收敛, 故级数⑵一致收敛，所以函数列
㈢.证明lnim n x - x是积分方程(*)在a,b上的连续解。
因为由㈠和㈡可得
x在a,b上连续, x在a,b上一致收x在a,b上一致收敛,
敛，故-x在a,b上连续,
且函数列K x,
所以对
b
K x,
a
两边取极限可得
lim
n b
n n1
im
x,
x, liK
m
从而
x,
所以-x是积分方程(*)在a,b上的连续解。
x是积分方程(*)在a,b上的唯一解。
设\x 是积分方程(*)在a,b上的另一连续解，则
b
x f x
a
K x,
，则
常微分方程答案-第三章
