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3．1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程． 知识点 导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ 梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线
PT称为曲线在________的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________． 类型一 求切线方程
命题角度1 曲线在某点处的切线方程
134
例1 已知曲线C：y＝x＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
33反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程
127
例2 求抛物线y＝x过点(4，)的切线方程．
44
反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，y0)． (2)建立方程f′(x0)＝
2
y1－y0
. x1－x0
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y＝x＋x＋1相切的直线方程． 类型二 求切点坐标
例3 已知曲线y1＝x－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x在x＝x0处的切线互相平行，求
2
3
2
x0的值．
引申探究
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1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值． 2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程． 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数f′(x)． (3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x－2x＋3相切，求a的值及切点坐标． 类型三 导数几何意义的应用
例4 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)
反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
跟踪训练4 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
(2)已知曲线f(x)＝2x＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________． 1．已知曲线y＝f(x)＝2x上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为( ) A．4 C．8
2
22
3
2
B．16 D．2
2．若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
9
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )
xA．45° C．135°
B．60° D．120°
4．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
5．已知曲线y＝f(x)＝2x＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________． 1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝Δlim x→0
2
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
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2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
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答案精析
问题导学 知识点
思考1 割线PPn的斜率为kn＝
fxn－fx0
.
xn－x0
思考2 kn无限趋近于切线PT的斜率k. 梳理 (1)点P处 (2)liΔm x→0题型探究
例1 解 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点坐标为P(2,4)． Δy∵y′|x＝2＝Δlim x→0Δx1
2＋Δx3
＝Δlim x→0
4143
＋－×2－333
Δx3
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0) (3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
Δx12
＝Δlim[4＋2Δx＋(Δx)]＝4， x→03∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
跟踪训练1 －3
12
例2 解 设切线在抛物线上的切点坐标为(x0，x0)，
41
x0＋Δx4
∵y′|x＝x0＝Δlim x→0Δx111＝Δlim (x0＋Δx)＝x0， x→0242127
x0－441∴＝x0， x0－42
即x0－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.
12491
∴切线过抛物线y＝x上的点(7，)，(1，)，
444
2
2
12
－x0
4
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49711
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
4242化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0， 即为所求的切线方程．
跟踪训练2 解 设切点坐标为(x0，x0＋x0＋1)， 则切线斜率为
2
k＝Δlim x→0
x0＋Δx2
＋x0＋Δx＋1－
Δxx20＋x0＋1
＝2x0＋1.
2
x2－0x0＋x0＋10＋x0＋1
又k＝＝，
x0－－1x0＋1
x20＋x0＋1
∴2x0＋1＝，
x0＋1
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1，0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 例3 解 y′1|x＝x0＝Δlim x→0＝Δlim x→0
Δy Δx2
x0＋Δx2
－1－x0－1
＝2x0，
Δxy′2|x＝x0＝Δlim x→0
1－＝Δlim x→0
Δy Δx3
x0＋Δx2
－1－x0
3
Δx＝－3x0.
2
由题意得2x0＝－3x0， 2
解得x0＝0或－. 3引申探究
1．解 ∵y′1|x＝x0＝2x0，
y′2|x＝x0＝－3x20.
又曲线y1＝x－1与y2＝1－x在x＝x0处的切线互相垂直， ∴2x0·(－3x0)＝－1，
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3
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2020版高中数学第三单元导数及其应用3_1_3导数的几何意义教学案新人教B版选修1_1
