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初三第二轮复习专题六：分类讨论问题
【知识梳理】
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素、无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏． 【课前预习】
1、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 2、矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm.
?x?x＋
?3、若函数y＝
?2xx＞?
2
2
，，
则当函数值y＝8时，自变量x的值
是 .
4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段
BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
5、如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。 【例题精讲】
例1、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
例2、如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后 秒两圆相切．
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例3、如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。 ⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
例4、已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)＋k (a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)＋k(a＞0)上； (2)点A在抛物线y＝a (x－1)＋k(a＞0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值．
例5、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F. （1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ
AEMQFBOCGHNDP2
2
2
0
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相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.
【巩固练习】
1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形， 则点P的坐标不可能是( )
A．(4,0) B．(1,0) C．(－2 2，0) D．(2,0)
2、在△ABC中 ，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．
3、如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．
【课后作业】 班级 姓名 一、必做题：
1．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是 ( )
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
2
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2．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知⊙O的直径AB＝40，弦CD⊥AB于点E，且CD＝32，则AE的长为 ( ) A．12 B．8 C．12或28 D．8或32 4．如图，⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3， 当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( ) A．2 B．7 C．2或5 D．2或8
5．已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_______cm．
6．在平面直角坐标系中，若点M(－1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是________． 7．已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为_______．
8．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2．则⊙O上有且只有_______个点到直线AB的距离为3．
9．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______． 10．一次函数y＝2
7x?7的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C(a，0)(a<0)使△3ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数解析式．
11．如图，直线l1的函数解析式为y＝3x＋6，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直
线l2经过B、C两点，点C的坐标为(8，0)．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动的时间为t(1 (2)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式； (3)试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？ 学习必备 欢迎下载 二、选做题： 12、已知实数a、b满足a?3a?2?0,b?3b?2?0,试求代数式 13、已知关于x的方程x??2k?1?x?k?1?0的两根x1、x2满足x1?x2?3，求x 的 2222ab?的值． ba值． 14．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建 立平面直角坐标系，已知OA＝3，OC＝2，E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． (1)直接写出点E、F的坐标； (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 15、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 学习必备 欢迎下载 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax+bx+c，顶点为点N． (1)求过A、C两点直线的解析式； (2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围； (3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标． 2
中学九年级数学总复习二轮复习专题六分类讨论问题
