点E作EF∥DC交射线BC于点F．联结EC，设BE= x，（1）求BD的长；
S?ECFS?BDC?y．
（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长．
【答案】 解：（1）过点A作AH⊥BD于点H,
∵AD∥BC，AB＝AD=5
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC, BH＝HD………………………（1分） 在Rt△ABH中，∵tan?ABD?tan?DBC?∴cos?ABD?3， 4BH4?……………………………………(1分) AB5∴BH=DH=4， …………………………………………（1分） ∴BD=8 …………………………………………………（1分）
（2）∵EF∥DC ∴
FCDE8?x， ??BFBExS?EFCFC8?x??……………………（2分） S?EFBBFx ∵△EFC与△EFB同高，∴
由EF∥DC可得：△FEB∽△CDB
S?FEBBE2x2x2∴?()?()?………………………………（1分） S?CDBBD864S?EFCS?EFCS?EFB8?xx211∴y?（2分，1分） ??????x2?x，(0?x?8)……
S?BDCS?EFBS?BDCx64648（3）∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC, ∵△BDF与△BDA相似 ①∠BFD=∠A，
可证四边形ABFD是平行四边形
∴BF=AD=5．………………………………………………（2分） ②∠BFD=∠ABD， ∴ DB=DF．
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可求得：BF=
64．………………………………………（2分） 564综上所述，当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或．
5
★已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y． （1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值． （3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．
23、已知平面直角坐标系xOy（如图7），抛物线y?1 / 1
12x?bx?c经过点A(?3,0)、2
3C(0,?).
2（1）求该抛物线顶点P的坐标； （2）求tan?CAP的值；
（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四象限 时，用含t的代数式表示△QAC的面积. 【答案】
解：（1）将A（﹣3，0）、C（0，﹣）．代入
得
解得
所以抛物线的表达式为y=x2+x﹣．
其顶点P的坐标为（﹣1，﹣2）．…（1分）
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H． 设直线AP的表达式为y=kx+b， 将A（﹣3，0）、P（1，﹣2）代入，得
，解得
．
∴y=﹣x﹣3．
进而可得G（0，﹣3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°， 在Rt△CHG中，HG=CH=CG?sin45°=在Rt△AOG中，AG=∴AH=AG﹣HG=∴tan∠CAP=
（3）设Q（t，t2+t﹣），
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=3
，
．
=．
由Q在第四象限，得|t|=t，|t2+t﹣|=﹣t2﹣t+）． 联结OQ，易得 S△QAC=S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ． ∵S△AOC=×|﹣3|×|﹣|=，S△QOC=×|﹣|×t=t， S△AOQ=×|﹣3|×|t2+t﹣|=﹣t2﹣t+， ∴S△QAC=+t﹣（﹣t2﹣t+）=t2+t．
24、已知：抛物线y?ax2?bx?c经过点O?0,0?，A?7,4?，且对称轴l与x轴交于点B?5,0?.
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（1）求抛物线的表达式；
?5?（2）如图，点E、F分别是y轴、对称轴l上的点，且四边形EOBF是矩形，点C?5,?是
?2? BF上一点，将?BOC沿着直线OC翻折，B点与线段EF上的D点重合，求D点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G是对称轴l上的点，直线DG交CO于点H，S?DOH:S?DHC?1:4，求G点坐标.
【答案】
?b??2a?5,?（1）由题意得?c?0,
?49a?7b?c?4??4?a??,?21?40?440,∴y??x2?解得?b?x. 212121??c?0.??（2）∵?BOC与?DOC重合，OB?5,BC?∴BO?DO?5,CD?BC?5， 25，?OBC??ODC?90?， 2∴?EDO??FDC?90?，又?EDO??EOD?90?， ∴?EOD??FDC，
∵?OED??DFC?90?，∴?EOD∽?FDC
EDEOOD5????2， FCDFCD52∵四边形OEFB是矩形，∴EF?OB，EO?FB，
设FC?x，则ED?2x,DF?5?2x，∴EO?10?4x，
∴
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上海中考数学考前冲刺课讲义
