绝密★启用前 试卷类型：A
2024年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2024.3
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 参考公式：
圆锥的侧面积S??rl,其中r是圆锥的底面半径,l是圆锥母线长. 圆柱的的侧面积S?2?rl,其中r是圆柱的底面半径,l是圆柱母线长.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设a?R，若(a?i)2i（i为虚数单位）为正实数，则a?
A．2
B．1
C．0
D．?1
2．设集合M?{x|x?1?2}，N?{x|x(x?3)?0}，那么“a?M”是“a?N”的
A．必要而不充分条件 C．充分必要条件
B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积等于 A．15? B．18? C．21? D．24?
4．曲线y?sinx，y?cosx与直线x?0，x?
?23?正视图、侧视图俯视图图1?2
所围成的平面区域的面积为
?A．?(sinx?cosx)dx
20
B．2?4(sinx?cosx)dx
0??C．?(cosx?sinx)dx
20D．2?4(cosx?sinx)dx
05．已知函数f(x)?x?2x，g(x)?x?lnx，h(x)?x?x?1的零点分别为x1，x2，x3，则
x1，x2，x3的大小关系是
A．x1?x2?x3 C．x1?x3?x2
B．x2?x1?x3 D．x3?x2?x1
6．若曲线C：x2?y2?2ax?4ay?5a2?4?0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为
A．(??，?2) C．(1，??)
12??i
?B．(??，?1) D．(2，??)
(x??i)22?i27．已知三个正态分布密度函数?i(x)?eyy??1(x)y??2(x)y??3(x)（x?R，i?1，，23）的图象如图2所示，则 A．?1??2??3，?1??2??3 B．?1??2??3，?1??2??3 C．?1??2??3，?1??2??3 D．?1??2??3，?1??2??3
O图2x
8．设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个．．．数称为ai的顺序数（i?1，，．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，2，n）3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A．48
B．96
C．144
D．192
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9?81，则a2?a5?a8? ． 10．已知(1?2x)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则a1?2a2?3a3?4a4= ．
x2y211．若双曲线??1的右焦点与抛物线y2?12x的焦点重合，则m? ．
m3412．若不等式|x?1|?|x?3|?a?对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是
a ．
13．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除
法．若输入m?2010，n?1541，则输出m? ． （注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）
求m除以n的余数r开始输入m,nm?nn?rr?0?是输出m否结束图3
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
?2t?1,在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x（参数t?R），以直y?4?2t.?角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为??2cos?，则圆心C到直线l的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图4，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E．若PA?23，?APB?30?，则
PBADO?CE图4AE= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2sin(ωx?)sin(ωx?)（其中?为正常数，的最小正周期为?． x?R）
63（1）求?的值；
??1BC（2）在△ABC中，若A?B，且f(A)?f(B)?，求．
2AB
17．（本小题满分12分）
如图5，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，?BAC??ACD?90?，
?EAC?60?，AB?AC?AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平
面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角?的余弦值．
EDAB图5C
18．（本小题满分14分）
已知f(x)是二次函数，f?(x)是它的导函数，且对任意的x?R，f?(x)?f(x?1)?x2恒成立．
（1）求f(x)的解析表达式；
（2）设t?0，曲线C：y?f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角
形面积为S(t)．求S(t)的最小值．
19．（本小题满分14分）
某投资公司在2024年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也
72可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能
311亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
5315（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本
金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）
20．（本小题满分14分）
已知A、B分别是直线y?33线段AB的长为23，x和y??x上的两个动点，
33P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点
R．若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．
21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,aa2n,a2n?1,an2?n2?1成等差数列，
成等比数列，n?1,2,3,2．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
14n（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
ann?2
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