向量的数量积和坐标运算
??a,b是两个非零向量，它们的夹角为?，则数|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积（或内
积），记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?. 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：
若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则
??a①?b?x1x2?y1y2?z1z2；
②|a|?x1?y1?z1,|b|?x2?y2?z2；
??③a?b?x1x2?y1y2?z1z2
222222④cos?a,b??x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222
1.2. 异面直线m,n所成的角
????分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角?等于向量a,b所成的角或其补角
??|a?b|（如图1所示），则cos????.
|a|?|b|1.3. 异面直线m、n的距离
????分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的
CaAnm
nD图1
bB向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d?|AB?n||n|.
1.4. 直线L与平面?所成的角
在L上取定AB，求平面?的法向量n（如图2所示），再求cos??为所求的角.
|AB?n||AB|?|n|，则???2??
1.5． 二面角
方法一：构造二面角??l??的两个半平面?、?的法向量，则 n1、n2（都取向上的方向，如图3所示）①
若二面角??l??是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos???学广东卷第18题第（1）问）.
② 若二面角??l??是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即cos??
③ 方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面?、?内求出与l垂直的向量n1、，则二面角??l??的大小等于向量n2（如图4所示）
n1?n2|n1|?|n2|.
n2?ln1n2?图3甲
n1?n2|n1|?|n2|.（例如2004年高考数
n1?l 图3乙
??n2n1、n2的夹角，即 cos??n1?n2|n1|?|n2|.
BlAn1图4
?1.6. 平面外一点p到平面?的距离
先求出平面?的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平面
pn?的距离d等于AP在n上的射影长，即d?
|AP?n||n|.
A图5 ?练习
1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ．
AA1?2AB，2.如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，则异面直线A1B与AD1D1
C1
所成角的余弦值为（ ） 1A．
5A1
B．
2 53C．
5D．
45
D A
B
C
3．，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且EF=GH=MN,求证：SA?BC,SB?AC,SC?AB.
4．如图2，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
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