第43讲 利用空间向量求空间角和距离
思维导图
知识梳理 1．异面直线所成角
|a·b|
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
|a||b|2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，|a·n|
则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝
|a||n|
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就―→―→
是向量AB与CD的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离
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|n1·n2|，如图(2)(3)． |n1||n2|
―→
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2. (2)点到平面的距离
―→
―→|AB·n|
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.
|n|
题型归纳 题型1 异面直线所成的角
【例1-1】（2024?济南模拟）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB?BC，AB?AD?1BC，将直角梯2形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90?，形成如图所示的几何体，其中M为CE的中点． （1）求证：BM?DF；
（2）求异面直线BM与EF所成角的大小．
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【例1-2】（2024?北京模拟）在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AD?AB，PA?AD?2，AB?BC?1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD?BQ；
（Ⅰ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．
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第43讲 利用空间向量求空间角和距离(考点精讲)(学生版)
