解：A =
1 0 3 -13 0 2 1 1 7 _4 2 14 0 3
1 0 -4 0
1 2 -1 1 2 5 0 6 2 \
1
0 0 / 0 1 1 0 1 _0 2 2 -4 -2_ 0 3
3 3
1
2 3
1 0 3 1
2
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0
1 0
-4 -4
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 -4 0
R (A) = 3,含色
E的最大无关组为內，aV %(042 45)；
i ;十°?5色线性无关。
13.作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是(lAOAO)7,(UAO,O)r.
_
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
解：A = 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
14.求下列矩阵的秩及行向量组的一?个最人无关组:
-1
3
2 -42 -1 4
3
1
3 -4 4
1 -1 1 解：A =
0 2 2 -1
“宀2 \\
1 -1 2 -1
3 1 1 3
C2-3C
1 -1 2 1
0 4 0 4
0 -4 2 4
-6 -6 5 5
----- >
_0 0 1
-1 4 0
2 -6 0
5 0
R(A) = 2,最大无关组为任意两个行向量。
1 15 7 2 1 1 1
1 1 4
⑶
2 5 -1 0 2 -6 -1 -4 2 -2 1 2 解： _ 2
2 2 -1 4 0
_
1 1
1
1 1
4 _ 1 0 0
A 二 2 5 -1
0 2 -6 2
3
-3
-1 -4 2 -2 1
2
-1 -3
3
2 2 2-140 0
-2
-2 -1 -3
-1 13 -1 -1
2
0
0 -3
13
2
0-3
⑵
2 3 10 5
_
2 2 0 7 5_ _2 2 0
7 5_
A = 1 5 7 2 1 —1 5 7 2 1
2 3 1 0 5
>
0 1 1 -7 0
解：
0 —-8 —-14 3 —3
0 0 -6 -53 —J
1 5 7 2 1 1 5 7 2
_0 1 1 -7 0_0 1 -7 R (A) = 3,最人无关组为三个行向量。_
1
_ 1 0 0
0 0 0_ _ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 -1
-1
-3 1 0 0 -1 -1 1 0 0 _2 0 -3 1 0 0 _2 0 1 0 0 R (4) = 3，最大无关组为任意三个行向量。
0 -2 -1 -3 2
—> 3_ 1 0
0
0 0 0
0 0 0 -14 2 6 -8
_
1 _3 15.定参数久，使矩阵 2
2 -1 -1 -1 1 -2 -2 0_
-2
0_
1 1的秩最小. -1
「
2
解：A = 2 -1
3 1
_1
-1 -1
1 1 -2 -1 2 0 2-1
-
2 1 -5 0 0 -5
-1 -2 1 5 1
5
0 1 A
_
1 2 ——> 0 -5
-1 -2
1 5
当2-1=0,得R (A) = 2最小，???2 = 1
16. 设向量组A:么1，么2，???,山的秩为厂 1，向量组〃：“1，炖，…必 的秩为
々，向量组°： a19a2，…,a$,“i，02，…,几 的秩为$，证明max {［々用r3 < q +r2 ?(提示：第 一个不等式的证明利用第四节推论2;第二个不等式nj rhfe大无关组的定义证明)
解：(1)向量组A与B可由向量组C线性表示
/.Tj < ；3， r2 < r3, 即 max{rr r2} < r3o (2)设4的最大无关组：a：,必,…，Q；
B的最大无关组：队,0；,…，0；
向量组Z)： a；,必,…，a；, 0：, 0；,…，0；
C可由向量组￡>线性表示，有r3 < /? (D ) < Tj + r2
所以,max{q, r2} < r3 < ^ + r2
17. 设A, B都是m x n型矩阵，试证：R(A+B) 解：设4的列向量组：少，色，…， 〃的列向量组：久02,…，A A + B的歹I」向量组：&i+0i， a2 向量组C： a〕, ay, a“, 0卩 02,…，Pn 勺+0” \\ + B的列向量组可cii线性表示 贝lj, R (A + fi) 由4题的结论，得/? (C) 所以，R (A + B)5R (A) + /? (B)
向量组的线性相关性与矩阵的秩练习88230.docx
