第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习
班级： __________ 姓名： ___________ 学号： ____________
1.已知向量 a = (l,0,l)r,P = (3-5,7)r,若 4 (a-y )-6(fl) = 5y，求八 解： 4(a— /)—6(0 + /)
= 5/
4a~6/3 = 15/
\里2—筠 15 …15’
T
2.试直接(即不利用线性相关的定义)叙述〃个向量?，巾，…，\线性无关的定义
女口果匕=k2二…=kn =0,等式热⑦+k2a2 +??? + &,% =0恒成立,则 a〕，勺…，％
线性无关。
3?判断向量 0 二(1,2,3,4)7 是否为向量纽 a】 =(2,3,4,5)了， a2 = (3,4,5,6)7, 幻=(4,5,6,7)厂的线性组合,为什么？
解：设存在三个数“ kv心使得
(3 = kxa{ + k2a2 + k3,即 2k、+3為 +4心=1 3k、+ 4k° + 5k, q = 2 4￡] +5心 +6心=3 5k{ +6為 +7他=4
解线性方程组得
k、= 2, k-, = —1, k3 =0 P—la—a2 +0勺
4.将向 量卩= (l,l,l,l)r 表示成 向量组 切=(1,1,1,一2)卩， a3 =(1,-2,1,1/, ?4 = (—2,1,1,『的线性组合.
解：设存在四个数力kv kv町，使得
a2 =(1,1-2,1/,
0 = kg + k2a2 + k3a3 + 即
“i +心+心—2k彳=1 k、+ 心—2k § + *4 = 1 k、一 2k° + 心 + 灯=] —2k、+ 込 + & + 心=1
解线性方程组得唯一解
k、= 1, k2 = 1, k3 = 1, k厶=\\
0 = a〕+ 色 + 如 + a4
5. 将向量卩=(9,13,17,21)丁 表示成向量组 j =(1,2,3,4几 5=(2,3,4,5)厂, a ? =(3,4,5,6)
丁的线性组合.
解：设三个数心k2,為，使得
0 = kxa} + k2a2 + k3 av 即 k\\ + 2k)+ 3k < = 9 2k、+ 3k r + 4他=13 H+4心+5心=17 4/C] +5褊 +6他=21
解线性方程组得处=0, k2 = 3,心=1
/. 0 = Ocr! + 3a2 + a3
6. 证明向量组q =(2,3-l)r,?2 =(3,-4,6/,a3 =(-5,0,7/线性无关.
2
解：￡>= 3
3-5 -4
0 =-189^0 7
Qi，a2, $线性无关。
-16
rr7. 证明向量组? = (-2,4,1)7,? = (3-2,-l),a =(08,l) 线性相关. 23?
-2
解:D= 4
3 -2
0 8=0
1 -1 1
.?.%, av如线性相关。
8?已知向量组线性无关，试确定数久1説2，久3，使得向量组
Q] +/?2么2 ,么2 +2萊3,么3 +几1^1也线性无关.
解：设存在三个数R為，心，使得
/Cl +/l26Z2）+Z：2（6Z2 +几3&3）+心（如 + 入 Q|）=0,即
1
+ 2禹 kl +（比1几2 +殳2）^2 +依2几3 +為）^3 =。
已知
a】,a2,如线性无关，所以有 k} +入心=0 < A2k} +k2
= 0,要使ax +A2a2, a2 + A3^z3, a3
线性无关
^3k2 + k3 = 0
只须线性方程组的系数行列式D =血1 0 入
即 2jA2A3 H —1
9.设卩| = O] , ps =?| 4-?2 Pr =G] +02 +??? + %,且向量组eq ,?2，…，為线性无 关，
证明向量组卩\\,卩2,…仇也线性无关?（提示：利川定义证明） 解：设存在厂个数，使得
k\\0\\ +為02 V ----- kr/3r =0,有
（kl +鸟2 + …+ &）Q] +（*2 +心 + …+ 忍）^2 ??? + k「a r — 0 ???
Q], a”…,?线性无关，有 k、+ kc + 灯 +??? + &
=
0 k 2 + k 3 + ??? + &. =
0
? ? ?
? ? ?
忍=0
1 1 ??? 1
线性方程组的系数行列式Q =
1???1
= 1 h 0 ? ? ?
1
则匕=k2 = k3 = k4 = 0
:?P\\， 02, 03, 04线性无关。
10.设（Z] ,?2，…灼是一组n维向量,已知n维单位坐标向量组E]，&2，…，5能由它
们
线性表示，证明切\…，色线性无关. 解：设向量组A斫，5…,6；
向量组B： Q］，色，…，an> 已知向量组A由向量组3线性表示， 向量组3由向量组A线性表示；
.??向量组4与向量组B等价n R(A)= R(B)= n 则
a】，色，…，线性无关。
11.设绚,込,…,％是m个互不相同的数,又21 m a - n 11 ? d ^2 a 22 /?.2 - r \\7 a =(1 a a2 …厂)丁 线性无关.(提示：利川范徳蒙行列式、第三节推论1及命题1可证) 解：设向量组= (1, J,巧，…，d；T)(.j = l,2,…，〃\， 向量组3： 0|, 匀,…，0,”线性无关 则由第三节的命题1得 向量组A： a)— 2 n\\~ \\ n a丁 cij,…,a) ,???, Qj j = l,2,?…,IYI) 线性无关。 1 1 ? ? ? 1 a \\ a2 ? ? ? a m 9 a： a2 ? ? ? ■ ■ ■2 ? ? ? ? ? ? J\—■1 1 ? ■ 1 a l a? ? ? ? 12 .设四维向量组 A 为：勺=(1,-1,2,4)7,?2 =(0,3,1,2)丁亦3 =(3,0,7,14)丁 , l,2,0)r, ?5 =(2,I,5,6)T. (1) 证明么［皿2线性无关； (2) 求向量组4中包含勺亦2的一个最大无关组. (3i ?4 = (i,-
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