2017年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
题号 得分 评卷 复核 （2017年12月4日 上午9:00~11:00） 二 一 （1~8） 9 10 11 12 总分 解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x的两个方程：x?x?3m?0??①，x?x?m?0??②，其中m?0。若
方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。
2. 已知梯形ABCD中，AB//CD，?ABC?90?，BD?AD，BC?5，BD?13，则梯形
22ABCD的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等
于2的概率为______________。
4. 将8个数?7，?5，?3，?2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，
使得?a?b?c?d???e?f?g?h?的值最小，则这个最小值为____________。
225. 已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得AE?3，BF?2，
线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC中，?ACB?90?，P是?ABC内一点，使得PA?11，PB?7，
PC?6，则边AC的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负
得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
4，则第2名选手的得分是_________。 58. 已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则a?b?c?d的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
9. 如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知?DAC?60?，角DAC的平分线与边DC交于
点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：SM//LC。 解
LDSMOCAB
10. 对于正整数n，记n!?1?2???n。求所有的正整数组?a,b,c,d,e,f?，使得
a!?b!?c!?d!?e!?f!，且a?b?c?d?e?f。
解
11. （1）证明：存在整数x，y，满足x?4xy?y?2022；
2
22
（2）问：是否存在整数x，y，满足x?4xy?y?2011?证明你的结论。 22解
12. 对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为p1， p2，...，pk，对于每个
3
pi?1?i?k?，存在正整数ai，使得piai?n?pi记p?n??p1a1ai?1，
aa?p22???pkk例如，p?100??26?52?89。
（1）试找出一个正整数n，使得p?n??n；
（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得p?n??1.1n。 解
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2017年新知杯上海市数学竞赛
