设AP切⊙O于点E，连接OQ， ∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ． ∴OQ⊥AP， ∴OQ经过点E， ∴OE⊥AP，
∵AP?OE OA?OP，即3AP＝5t，
∴AP t，
在Rt△AOP中，AP＝OP+OA，解（t）＝t+25，
2
2
2
22
解得t
， 当PQ与⊙O相切时，如图3， 设PQ切⊙O于点E，连接OE， ∴OE⊥PQ， ∵AQ⊥PQ， ∴OE∥AQ， ∴△ODE∽△ADQ， ∴
，即
，
∴OD ， ∴AD ，
∴DQ ∴PD＝DQ﹣PQ
，
t， ∵OD?OP PD?OE， ∴
t＝（
t）×3，
解得t
综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或 ．
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28．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（4，1）、C（m，0）、D（0，n）． （1）四边形ABCD的周长的最小值为 8 ，此时四边形ABCD的形状为 矩形 ； （2）在（1）的情况下，P为AB的中点，E为AD上一动点，连结PE，作PF⊥PE交四边形的边于点F，在点E从D运动到A的过程中： ①求tan∠PEF的值；
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②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，请直接写出点Q所经过的路线长．
【解答】解：（1）过点A作A关于y轴的对称点A′、过点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点分别为D'、C'，如图1所示： 此时四边形ABC'D'的周长最小，即为四边形ABCD的周长的最小值． 设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y＝kx+b． ∵A（1，4），B（4，1）， ∴A′（﹣1，4），B′（4，﹣1）， 依题意得： ，
解得： ，
∴过A′与B′两点的直线的函数解析式为y＝﹣x+3， 当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3，； ∴C'（3，0），D'（0，3）；
∴AD' ，BC' ，AD'＝BC'，AB 3 ，C'D' 3 ， ∴四边形ABC'D'的周长为 3 3 8 ； ∵AB＝C'D'，AD'＝BC'， ∴四边形ABC'D'是平行四边形， ∵BM＝1，OM＝4，OC'＝3， ∴C'M＝1＝BM，
∴△BC'M是等腰直角三角形， ∴∠BC'M＝45°， 同理：∠OC'D'＝45°，
∴∠BC'D'＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴四边形ABC'D'是矩形； 故答案为：8 ，矩形；
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（2）①∵P为AB的中点， ∴AP AB ，
作FG⊥AB于G，如图2所示：
则FG＝AD ，∠FGP＝90°＝∠A，∠FPG+∠PFG＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠FPG+∠APE＝90°， ∴∠PFG＝∠APE， ∴△PFG∽△EPA， ∴
，
∴tan∠PEF ；
②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，点Q所经过的路线是一条线段． 当点E在D点位置时，EF的中点为Q，
当点E在A点位置时，EF的中点为Q'，此时，Q'为PD的中点， ∴QQ'为△PDF的中位线，
∴QQ' PF，QQ'的长即为点Q所经过的路线长， 作FG⊥AB于G，如图3所示：
则FG＝AD ，∠FGP＝90°＝∠A，∠FPG+∠PFG＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠FPG+∠APD＝90°， ∴∠PFG＝∠APD， ∴△PFG∽△DPA， ∴
，即
，
解得：PG ，
∴PF ， ∴QQ' ，
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即点Q所经过的路线长为
．
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2017年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）
