去心邻域U(a,?):U(a,?)?{x|0<|x?a|
定义设数集D?R,则称映射f:D?R为定义在D上的函数,通常简记为
??y?f(x),x?D,
其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df?D. 注:（1）记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),x?D”或“y=f(x),x?D”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f. （2）函数符号:函数y?f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“?”等.此时函数就记作y??(x),y?F(x). （3）函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的. （4）函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例:求函数y?1?xx2?4的定义域.
解：要使函数有意义,必须x?0,且x2??4?0.解不等式得|x|?2.
所以函数的定义域为D?{x||x|?2},或D?(??,2]?[2,??]).
(5)表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}称为函数y?f(x),x?D的图形.图中的Rf表示函数y?f(x)的值域.
2.单值函数与多值函数:
在函数的定义中，对每个x?D,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x?D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2?y2?r2给出.显然,对每个x?[?r,r]，由方程x2?y2?r2,可确定出对应的y值,当x?r或x??r时,对应y?0一个值;当x取(?r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2?y2?r2给出的对应法则中,附加“y?0”的条件,即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则,就可得到一个单值分支y?y1(x)?r2?x2;附加“y?0”的条件,即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则,
r2?x2就可得到另一个单值分支y?y2(x)??3.分段函数: . 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 注：（1）分段函数是一个函数，而不是两个函数。
（2）对分段函数要求会求定义域会画图像，会求函数值。
2例:函数y????x 0?x?1.
?1?x x?1?这是一个分段函数,其定义域为D?[0,1]?(0,??)?[0,??). 当0?x?1时,y?2x;当
x>1时,y?1?x.
例如f(1)?221?2;f(1)?2 1 ?2;f(3)?1?3?4. 24.几个特殊函数的例子:
x x?0例.绝对值函数y?|x|????x x?0.其定义域为D?(??,??),值域为Rf?[0,??).
??1 x?0例.符号函数y?sgnx???0 x?0.其定义域为
??1 x?0?D?(??,??),值域为Rf?{?1,0,1}.
例取整函数设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x]. 函数y?[x]，其定义域为D?(??,??),值域为Rf?Z. 5[]?0,[2]?1,[?]?3,[?1]??1,[?3.5]??4.75.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D,数集X?D.如果存在数K1,使对任一x?X,有f(x)?K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K1的下方. 如果存在数K2,使对任一x?X,有f(x)?K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数y?f(x)的图形在直线y?K2的上方. 如果存在正数M,使对任一x?X,有|f(x)|?M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数y?f(x)的图形在直线y???M和y?M的之间.
函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1?X,使|f(x)|>M. 例如
(1)f(x)?sinx在(??,??)上是有界的:|sinx|?1.
(2)函数f(x)?1在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上x界.
1?1这是因为,对于任一M>1,总有x1:?0?x1?M,使
f(x1)?1?M,
x1所以函数无上界.
函数f(x)?1在(1,2)内是有界的. x(2)函数的单调性 设函数y?f(x)的定义域为D,区间I?D.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当
x1
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D,则?x?D).如果对于任一x?D,有
f(?x)?f(x),
则称f(x)为偶函数.
如果对于任一x?D,有
f(?x)??f(x),
则称f(x)为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例:
y?x2,y?cosx都是偶函数.y?x3,y?sinx都是奇函数,y?sinx?cosx是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一x?D有(x?l)?D,且 f(x?l)?f(x) 则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状. 6．反函数与复合函数 反函数: 设函数f:D?f(D)是单射,则它存在逆映射f?1:f(D)?D,称此映射f?1为函数f的反函数.
按此定义,对每个y?f(D),有唯一的x?D,使得f(x)?y,于是有f?1(y)?x. 这就是说,反函数f?1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地,y?f(x),x?D的反函数记成y?f?1(x),x?f(D).
若f是定义在D上的单调函数,则f:D?f(D)是单射,于是f的反函数f?1必定存在,而且容易证明f?1也是f(D)上的单调函数.
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