第十讲 导数题的解题技巧
【命题趋向】 导数命题趋势：
综观 2007 年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特 点：
(1 )多项式求导(结合不等式求参数取值范围) ,和求斜率(切线方程结合函数求最值)问 题.
(2 )求极值 , 函数单调性 ,应用题 ,与三角函数或向量结合 .
分值在 12---17 分之间，一般为 1 个选择题或 1 个填空题， 1个解答题 . 【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌
握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导
法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值． 【例题解析】
考点 1 导数的概念
对概念的要求： 了解导数概念的实际背景， 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义， 理 解导函数的概念 .
1
3
3
例 1．( 2007 年 北京卷) f (x) 是 f (x) x 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是 ．
[ 考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 .
22
[ 解答过程 ] Q f (x) x 2, f ( 1) 1 2 3.
2
故填 3.
例2. ( 2006 年湖南卷)设函数 f(x) x a,集合 M={x|f(x) 0} ,P={ x| f '(x) 0},若 M P,
则实 x1
数 a 的取值范围是 ( )
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A.(- ∞ ,1) B.(0,1) C.(1,+ ∞ ) D. [1,+ ∞) [ 考查目的 ]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 .
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[ 解答过程 ]由 0, 当 a>1时 ,1 x a;当a<1时,a x 1. x1
x a
/
Q y , y x a x 1 x a
2
x 1 x 1 1
xx
a
/
1x 1
0. x1
a 1
2
a 1. 综上可得 M P 时 , a 1. 考点 2 曲线的切线
(1) 关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x) 在某一点 P( x,y) 切线的斜率 . (2) 关于两曲线的公切线 若的切线，即求出函数 y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的 一直线同时与两曲线相切，则
称该直线为两曲线的公切线 典型例题
极值点．
2
13 例 3.(2007年湖南文)已知函数 f (x)12
123ax bx在区间 ［ 1，1) ， (1，2 x
I)求 a2 4b 的最大值；
II)当
a 4b 8时，设函数 y f(x)在点 A(1， f (1))处的切线为 l，若l在点 A处
2
穿过
函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线 y f ( x)运动，经过点 A时，从 l
的一侧 进入另一侧) ，求函数 f(x) 的表达式．
思路启迪 ：用求导来求得 切线斜率 .
1 3 1 2 解答过程：( I )因为函数 f (x) x3 ax2 bx在
区间 ［ 1，1) ，(1，3］内分别有一个极值点，
32
所以 f (x) x2 ax b 0在［ 1，1)， (1，3］内分别有一个实根，
设两实根为
x1，x2( x1 x2)，则 x2 x1 a2 4b，且 0 x2 x1≤ 4．于是
2
2
0 a 4b≤4，0 a 4b ≤ 16 ，且当 x1 1，x2 3，即 a 2，b 3时等号
成立．故 a2 4b 的最大值是 16．
(II )解法一：由 f (1) 1 a b知 f (x)在点(1，f (1))处的切线 l的方程是 21
y f(1) f (1)(x 1) ，即 y (1 a b)x
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a ，
因为切线 l 在点 A(1，f ( x))处空过 y f ( x)的图象，
所以
21
g(x) f(x) ［(1 a b)x a］在 x 1两边附近的函数值异号，则
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(完整版)高考数学专题导数题的解题技巧
