傅里叶变换和拉普拉斯变换
一傅里叶变换在应用上的局限性
在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即
(5.1)
1f?t??2?
F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换)
????F?j??ej?td? (反变换)
(5.2)
但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。
还有一些信号，例如单边增长的指数信号
eatU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。
利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。 由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。
实际上，信号f?t?总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f?t?接入系统的时刻作为t?0的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即
有f?t?=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为
(5-3)
式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在t?0?F?j?????f?t?e?j?tdt0?
的时刻f?t?中有可能包含有冲激函数??t?。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是?)，不过此时要在公式后面标以t＞0，意即只有在t＞0时f?t?才有定义，即
f?t??12?????F?j??ej?td? t＞
0 (5-4a)
或用单位阶跃函数U?t?加以限制而写成下式，即
?1f?t????2??j?t??Fj?ed?U?t???????
(5-4b)
二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
当函数f?t?不满足绝对可积条件时，可采取给
f?t?乘以因子e（?为任意实常数)的办法，这样即
??t得到一个新的时间函数f?t?e。今若能根据函数f?t???t的具体性质，恰当地选取?的值，从而使当t??时，函数f?t?e??t?0，即满足条件
limf?t?e??t?0t??
??t
则函数f?t?e即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e起着使函数
??tf?t?收敛的作用，故称e为收敛因子。
??t设函数f?t?e满足狄里赫利条件且绝对可积(这可
??t通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有
傅里叶变换和拉普拉斯变换
