可得√+=√2，解得??=3，
2??故选：A． 7.【答案】C
11
2
【解析】解：解2???????≤?????4≤2????得，2???4≤??≤2??+4， ∴函数??=cos(?????4)的单调递增区间是[2???4,2??+4](??∈??)． 故选：C．
根据余弦函数的单调递增区间，解不等式2???????≤?????4≤2????即可得出原函数的单调递增区间．
本题考查了余弦函数的单调区间，复合函数和一次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 8.【答案】C
??
??
3
1
??
3
1
【解析】解：∵??+??=1，且??>0，??>0， ∴2??+??=(2??+??)(??+??)=2+2??=4时取等号，
∴2??+??的最小值为8． 故选：C．
根据??+??=1即可得出2??+??=(2??+??)(??+??)=2+
1
2
1
2
4????
1
2
4????
??4????
+??+2≥4+2√?????=8，当且仅当??=??，即??=
4??
??
1
2
+??+2，然后根据基本不等式
??
即可求出2??+??的最小值．
本题考查了基本不等式求最值时的应用，考查了计算能力，属于基础题． 9.【答案】A
【解析】解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确；
②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；
③若??//??，??//??，则m与n的位置关系是平行、相交或异面，即③错误； ④若??⊥??，??⊥??，则??//??或?????，即④错误． 故选：A．
根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．
本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题． 10.【答案】D
【解析】解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球， 每个盒子放入一个小球， 基本事件总数??=??33=6，
小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有： 编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为： 2，3，1或3，1，2，共有2个，
则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为??=6=3．
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2
1
故选：D．
基本事件总数??=??3利用列举法求出小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本3=6，
事件有2个，由此能求出小球的编号与盒子编号全不相同的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11.【答案】B
【解析】解：??′(??)=(??+1)????，
当??>?1时，??′(??)>0，函数单调递增，当??
先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的极值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的极值，属于基础试题． 12.【答案】A
【解析】解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△??????为等腰直角三角形，所以????=????=√????，由题意
22
可得半径????=??，
所以N坐标(√??,√??)，而N是??1??2为直径的
2
22
2
圆交双曲线C的交点， 代入双曲线方程可得：
??22??2
?
??22??2
=1，而??2=??2???2，
??
整理可得：??4?4??2??2+2??4=0，离心率??=??
所以可得：??4?4??2+2=0，解得??2=2+√2，所以??=√2+√2，
故选：A．
由题意画图可得：△??????为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以??1??2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．
考查双曲线的性质，属于中档题． 13.【答案】??????1=0
【解析】解：由??(??)=????????，得 ??′=??????+???=??????+1，
??1
∴??′(1)=????1+1=1，
即曲线??(??)=????????在点(1,0)处的切线的斜率为1，
则曲线??(??)=????????在点(1,0)处的切线方程为???0=1×(???1)， 整理得：??????1=0． 故答案为：??????1=0．
求出原函数的导函数，得到函数在??=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
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14.【答案】10
??=3??+2??【解析】解：画出约束条件的可行域，得??=?2??+2??，
当??=?2??+2??经过可行域的??(2,2) 目标函数取得最大值：3×2+2×2=10．
故答案为：10
作出不等式组对应的平面区域，??=3??+2??得??=?2??+2??，利用数形结合即可的得到结论 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15.【答案】√2 ??=1
3
13
1
3
1
【解析】解：2??????2??+??????2??=1+??????2??+??????2??=√2sin(2??+4)+1，
则??=√2，??=1， 故答案为：√2，1．
利用倍角公式结合辅助角公式进行化简，利用对比法进行对比即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．难度不大． 16.【答案】0
??
【解析】解：??(??)=(2+√3)??5+(1+√3)??4+(1+√3)??3+(1+√3)??2+(1+√3)???1=((((( 2+√3)??+1+√3)??+1+√3)??+1+√3)??+1+√3)???1 则??(2?√3)=0． 故答案为：0．
??(??)=(2+√3)??5+(1+√3)??4+(1+√3)??3+(1+√3)??2+(1+√3)???1=
((((( 2+√3)??+1+√3)??+1+√3)??+1+√3)??+1+√3)???1??=2?√3代入即可得出．
本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ??? ⊥??? ，∴2??????2cos2+√3????????=0． 17.【答案】解：(Ⅰ)∵??
化简得：????????=?√3，又∵0
2??3
??
??
．
1
(Ⅱ)由余弦定理??2=??2+??2?2????????????得，(√3)2=12+??2?2??(?2)， 解之得：??=1．
∴??△??????=2????????????=2×1×1×
1
1
√3
2
=
√3
． 4
【解析】(??)由已知结合向量垂直的坐标表示可求tanB，进而可求B； (????)由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示及余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵???????????1??1??1??1是长方体，
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∴??1??1⊥平面??????1??1．
又∵?????平面??????1??1，∴??1??1⊥????．
(Ⅱ)∵????=2，E是棱??1??1的中点，∴????1=1，
∴?????????1??1=????1???????1=3??△??????1???1??1=3×2?????1?????1???1??1=3×2×1×1×1=
16
1
1
1
1
1
．
【解析】(Ⅰ)由??1??1⊥平面??????1??1.即可证明??1??1⊥????． (Ⅱ)由?????????1??1=????1???????1=3??△??????1???1??1即可求解． 本题考查了线面垂直的判定、三棱锥的体积，属于中档题．
?
19.【答案】解：(Ⅰ)记这50名员工学习得分的平均数为??， 则??=50×(5×5+15×10+25×15+35×13+45×7)=26.4． (Ⅱ)用分层抽样可知从[10,20)中选2人，记这2人分别为??1，??2； 从[20,30)中选3人，记这3人分别为??1，??2，??3． 从??1，??2，??1，??2，??3中再任取2人的情况有：
??1??2，??1??1，??1??2，??1??3，??2??1，??2??2，??2??3，??1??2，??1??3，??2??3共10种． 其中得分在[10,20)和[20,30)中各有1人的情况有： ??1??1，??1??2，??1??3，??2??1，??2??2，??2??3共6种．
记事件A为“得分在[10,20)和[20,30)中各有1人”则??(??)=10=5．
6
3
?
1
1
【解析】(Ⅰ)利用频数分布表能求出这50名员工学习得分的平均数．
(Ⅱ)用分层抽样可知从[10,20)中选2人，记这2人分别为??1，??2；从[20,30)中选3人，记这3人分别为??1，??2，??3.从??1，??2，??1，??2，??3中再任取2人，利用列举法能求出得分在[10,20)和[20,30)中各有1人的概率．
本题考查平均数、概率的求法，考查频数分布表的性质、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)??(??)=???????????的定义域为(0,+∞)，??′(??)=?????．
①当??≤0时，由??′(??)>0，知??(??)在(0,+∞)内单调递增． ②当??>0时，由??′(??)>0，即?????>0得0
由??′(??)<0，即?????<0得??>??，∴??(??)在(0,??)内单调递增；在(??,+∞)内单调递减． 因此，①当??≤0时，??(??)在(0,+∞)内单调递增．
②当??>0时，??(??)在(0,??)内单调递增；在(??,+∞)内单调递减． (Ⅱ)??(??)有两个零点．
即：方程???????????=0有两个实根， 即：方程??=
????????
1
1
1
1
1
1
1
1
1
有两个实根，
????????
即：函数??=??和??(??)=由??′(??)>0，即：
1?????????2有两个公共点，??′(??)=
1?????????2．
>0，∴0
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由??′(??)<0，即：
1?????????21
<0，∴??>??．
∴??(??)??????=??(??)=．
??又??(??)=???<0， 当??>1时，
????????
1
>0，∴0
1
∴当0
1
【解析】(??)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数的符号，进而可求函数的单调性；
(????)结合(??)的单调性及函数的性质，函数零点判定定理即可求解．
本题综合考查了利用导数函研究数的单调性，求解函数的零点问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
21.【答案】解：(??)抛物线的焦点为??(2,0)， 准线l的方程为：??=?2；
(Ⅱ)
由(??)知：设直线AB的方程为：???2=????(??∈??)，
???2=????
令??(??1,??1)，??(??2,??2)，{2，
??=8??消去x得：??2?8?????16=0， 由根与系数的关系得：??1??2=?16． 直线PB方程为：???8=??
2
???8???8
2?8
2
??=2，??
???8
2?88(???8)+8=)，
8??2+8????2+8
，
当??=?2时，??=同理得：??(?2,
8??2?16??2+8
，∴??(?2,
8??2?16??2+8
8??1?16??1+8
8??1?16
????? =(?4,8??2?16)，?????? ).∴?????????=(?4,)， ??+8??+8
2
1
8???168???1616(??2+8)(??1+8)+(8??2?16)(8??1?16)
????? ??????? ∴?????????=16+2×1==
??2+8
??1+8
(??2+8)(??1+8)
80(?16+16)(??2+8)(??1+8)
80(??1??2+16)(??2+8)(??1+8)
=
=0，
????? ⊥?????? ∴?????????，∴????⊥????．
【解析】(Ⅰ)由抛物线的定义即可解题；
(Ⅱ)由(??)知：设直线AB的方程为：???2=????(??∈??)，与抛物线方程联立，由根与
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2024年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(文科)
