备战2020-2021高考数学
难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°
12?3?3＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值
4513211 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°
22－sin60°sin20°)
=
33113cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
44242331=1－cos40°－(1－cos40°)=
444=1－
解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则 x+y=1+1－3sin60°=
1，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100° 2=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=
11，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=. 4412［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
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命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：
22?1 (a??2)?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2)
2?1?4a (a?2)??∵f(a)=
111,∴1－4a=?a=?［2,+∞) 228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
2211y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
22［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+
?)－3sin2x+sinxcosx 3(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
?7?－－
，］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值. 1212命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，
综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
－
错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.
?)－3sin2x+sinxcosx 3??=2cosx(sinxcos+cosxsin)－3sin2x+sinxcosx
33?=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+)
3解：(1)f(x)=2cosxsin(x+∴f(x)的最小正周期T=π
??5?=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
1232?7??(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［,］,
223??3??5?∴2x+∈［,］,∴2x+=，则
33236(2)当2x+
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x=
??－
，故f-1(1)= . 44●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－
??,2221A. 2二、填空题
)，则tan
???的值是( ) B.－2
C.
4 3 D.
1或－2 2?31，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 522?3?5??33?3.(★★★★★)设α∈(,)，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则
44413445sin(α+β)=_________.
三、解答题
2.(★★★★)已知sinα=4.不查表求值:
2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.
sin2x?2sin2x17??37?5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.
1?tanx541241?cos(???)??86.(★★★★★)已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求?4sin2(?)的
??443csc?sin22最大值及最大值时的条件.
7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.
8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=log122x?3的最小值，并求取得最小值时x
4x?10的值.
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参考答案
难点磁场
?3??3?＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜, 244454∴sin(α－β)=1?cos2(???)?,cos(???)??1?sin2(???)??.
135∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 5412356??(?)??(?)??. 1351356554解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,
51372∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
6540sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
651724056∴sin2α=(??)??
2656565歼灭难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
???????tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又
22222解法一：∵
???tan??tan??4a442??,又tan(???)??, tan(α+β)=
???31?tan?tan?1?(3a?1)31?tan22??????2?3tan?2=0.解得tan???=－2. 整理得2tan2222tan答案：B
?34,α∈(,π),∴cosα=－ 552311则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,
4222.解析：∵sinα=
12?(?)2tan?2??4.tan2???31?tan2?1?(?1)2234??(?)2tan??tan?743tan(??2?)???1?tan??tan2?1?(?3)?(?4)2443答案：
7 24
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3.解析：α∈(
???3?3?
,),α－∈(0, ),又cos(α－)=. 444245?4?3?3?3?53?12?sin(??)?,??(0,).????(,?).sin(??)?,?cos(??)??.45444413413?3???sin(???)?sin[(??)?(??)?]442?3? ??cos[(??)?(??)]44?3??3?3124556??cos(??)?cos(??)?sin(??)?sin(??)???(?)???.44445135136556即sin(???)?6556 65三、4.答案：2
答案：
3?7?x)?,?sin2x??cos2(?x)?.4542517?75???4又?x??,??x??2?,?sin(x?)??1243445sin2x?2sin2x2sinxcosx?2sin2x2sinx(sinx?cosx)cosx?? sinx1?tanxcosx?sinx1?cosx74??(?)sin2xsin(?x)5?284??25?375cos(?x)455.解:?cos(1?cos(???)???4sin2(?)??44csc?sin22?????sin(1?cos?)1?cos(?)sin?2cos2222?22?4(1?1sin?)??4??22221?sin2cos222???????? ?2(sin?sin)?2?4sincos?2222282???8???3???2?.??????,??34423?21?2??t?4sin(??)?(?)?2??2sin(?)?223223?2k?2? （k∈Z） ???k?（k∈Z）,?????2323??2???2∴当??2k??,即??4k??（k∈Z）时,sin(??)的最小值为－1.
2322337.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，6.解:令t??
【高考数学考点突破】三角函数式的化简与求值(2020-2021)
