微积分与数学建模学习知识情况总结 

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微积分与数学模型（上册）

任课教师：陈骑兵小组成员

张程 王子尧 李昊奇 梅良玉 方旭建 李柏睿

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第1章 函数，极限与连续

1.1 函数的基本概念

准备知识（掌握集合与区间的相关知识）

函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于任意x?D， 按照某一法则f，变量y都有确定的值和它对应，则称f为定义在D上的函数，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x)，称为函数f 在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性：

1：函数的有界性

设f(x)在集合X上有定义，若存在M>=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝 对值<=M, 则称函数f(x在)X上有界；否则，称函数f(x)在X上无界。 2：函数的单调性 3：函数的奇偶性 4：函数的周期性 5：分段函数 6：复合函数

1.2初等函数

常值函数 如：y=C,C为常数； 幂函数 如：y=x?,??R为常数； 指数函数 如：y=ax,a>0且a?1；

x对数函数 如：y=log,a>0且a?1；

a三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；

反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；

以及双曲函数

1.3 极限的概念

（1) .极限的直观定义：当x接近于某个常数x0但不等于x0时，若f(x)趋向于

常数A，则 称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。

(2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A，若对于?ε>0（无论ε多么小），总彐δ>0,使得当0<|x-x0|<ε,则称A为f(x)当x趋于x0时的极限，记做

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lim

x?x0f(x)=A.

(3) 单侧极限和极限的关系：（定理）lim

x?x0f(x)=A.成立的充要条件是左极

限lim

x?x0?f(x)和右极限lim

x?x0?f(x)均存在且都等于A

(4) （定理）lim

x?x0f(x)=A的充要条件是lim

x?x0?f(x)=lim

x?x0?f(x)=A

1.4 极限的性质与运算

性质：唯一性：若lim

x?x0f(x)存在，则必唯一

（1）局部有界性：若lim

x?x0f(x)=A，则存在M>0以及?>0，使得当0<|x-x0|

（2）局部保号性：若im

x?x0f(x)=A，且A>0(或A<0)，则存在?>0，使得当

0<|x-x0|0(或f(x)<0) 运算 若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则

①. lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A±B; ②. lim f(x)·g(x)存在，且lim f(x)g(x)=lim f(x)·lim g(x)=AB; ③. 若B≠0，则lim [f(x)/g(x)]存在，且 lim [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)=A/B 夹逼准则：

若函数f(x),g(x),h(x)满足:

（1）当x∈U(x0,δ)时，有g(x)≤f(x)≤h(x)；

（2) limx→x0g(x)=A,limx→x0h(x)=A, 则极限limx→x0f(x)存在,且等于A。 两个重要极限： I lim

x?0sin?(x)sinx=1 通用形式：lim=1

?(x)x?(x)?0 II lim

x??(1+

11x)=e 通用形式：lim(1+)=e

?(x)xx??1.5无穷小量

无穷小量的定义：若对于?ε>0，彐δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<

ε,则称f(x)为x→x0时的无穷小量。

注： （1）无穷小量是一个以零为极限的变量；

（2）无穷小量不是一个数，不要将其与非常小的数混淆； （3） 0是唯一可作为无穷小量的常数。

无穷大量的定义：若对于?M>0，彐δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|>M,则称f(x)为x→x0时的无穷大量

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定理：

(1)若f(x)为无穷大量，则1/f(x)为无穷小量；

(2)若f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大量。

无穷小量的运算性质：

a 两个无穷小量的和或差仍为无穷小量；

b 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； C 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； d 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 无穷小量的比较：

a若lim(β/α)=0,则称β是α的高阶无穷小，F b若lim(β/α)=∞,则称β是α的低阶无穷小， c若lim(β/α)=C≠0,则称β是α的同阶无穷小，

d若lim(β/α)=1,则称β与α是等阶无穷小，记做β~α。

1.6函数的连续性

连续函数的定义：

i 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limx→x0 f(x)=f(x0)，则称f(x)在点x0连续

ii 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limΔx→0 Δy=0,其中Δy表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则称f(x)在点x0右（左）连续。 间断点及其分类

满足条件：?f(x)x=x0 ?lim

x?x0f(x)存在 f(x)=f(x0)

x?x0 ?lim

三者有一个不成立，则称f(x)在点x0间断,称x0为间断点

第一类间断点：?可去间断点 ?跳跃间断点 第二类间断点：?跳跃间断点 ?振荡型间断点 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在x0连续，则f(x)±g(x),f(x)·g(x)及f(x)/g(x) (g(x0)≠0)都在x0连续；

反函数的连续性 若y=f(x)在区间Ix上单值，单增(减)，且连续，则其反函数x=φ(y)也在对应的区间Ix={y|y=f(x),x∈Ix}上单值，单增(减),且连续；

复合函数的连续性 函数u=φ(x)在点x=x0连续，且φ(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=f(φ(x))在点x0处连续。 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

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1.7闭区间上连续函数的性质

最值定理：

i 闭区间上的连续函数在该区间一定有界 ii 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 介值定理：

设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，则对于f(a)f与f(b)之间的任意常数C， 在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(a

推论： 设f(x)在[a,b]上连续，则对于?C?（m,M)，必存在x?(a,b)，使得f(x)=C

零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)<0,则在开区间(a,b)内，至少存在一点?，

使得f(?)=0，即f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

重点：i 理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。 ii. 理解并掌握极限的定义；性质和四则运算 iii 掌握夹逼准则的定理及应用 iv 掌握无穷小量的实质和性质 v 理解连续函数的定义

难点：I 掌握极限与连续函数间的内在联系

II 掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用 III 能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限 IV 能牢记并准确判断出函数间断点的类型 V 能运用数学建模解决实际问题

2.1导数的定义

第二章 导数与微分

设函数y=f(x)在x0点及其某领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量?y?f(x0+?x)?f(x0)，如果limx?0f(x0??x)?f(x0)?y=lim存在，?x?x?o?x则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)。

常见的导数表达式还有：f?(x0)?limx?xf(x)?f(x0)和

x?x00