北 京 大 学 硕 士 研 究 生 学 位 论 文
第四章 基于小波分析的SAR影像去噪的原理与方法
4.1 小波变换及其特征
4.1.1 小波变换
小波(wavelet)，即在时(空间)域延续度很小的“波”。如果函数?(t)是平方可积函数，即?(t)?L2(R)，并且其傅立叶变换?(?)满足
|?(?)|2 ? (4-1) d???
R|?|我们就称?(t)为一基本小波或小波基函数。而我们通常所讲的小波则是由小波基函数经过伸缩和平移而得到的函数族?a,?(t)：
t?? (4-2) ) a?0,??R
a其中，a是尺度（伸缩）因子，?是平移因子。 由定义可知，小波基函数是一类特殊的函数：（I）通常，它们在时(空间)域内是紧支集或近似紧支集的，并且在频域内也具有良好的局部性，可以作为“带通滤波器”或“窗口”使用；（II）它们具有正负交替波动性，有?(0)?0；（III）它们经过伸缩和平移变化得到的函数族也同样具有时(空间)域、频域局部性和正负交替波动性，并且尺度因子a越小，时(空间)域窗口越小，而对应频域窗口的中心频率和窗口宽度越大。
对于L2(R)中的函数f(t)，其小波变换可定义为
1t??WTf(a,?)??f(t),?a,?(t)??f(t)?()dt (4-3) ?Raa相应的小波逆变换为
1?da? f(t)? (4-4) WTf(a,?)?a,?(t)d?
C??0a2????a,?(t)?a?(?12|?(?)|2其中，C???d???。
R|?| 由公式(4-3)可知，小波变换实际上是信号f(t)与小波函数?a,?(t)的内积，即信号f(t)在?a,?(t)上的展开（投影）结果。那么，我们可以通过小波变换提取信号f(t)在特定尺度a下、特定位置?处的信号特征。由于尺度因子a在一定程度上决定了小波函数?a,?(t)的频率特性，可以通过确定尺度因子a来提取不同频率的信号特征，从这个意义上讲，小波变换具有一定的频率自适应性。
由公式(4-4)可知，信号f(t)可由小波族?a,?(t)，a?0,??R线性拟合而成，而各小波前的系数由相应的小波变换确定。此即为信号小波重建的依据。
若处理离散化的信号，就对a、?和t进行离散化处理，通常，取a?2m,??2m?n，其中，m,n?Z，并且对t进行与?相同的归一化处理，取dt??t?1。那么，离散化的小波函数可写为
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m2 ?m,n(t)?2?(2?mt?n) (4-5) 任意函数f(t)的离散小波变换为 WTf(m,n)?t?????f(t)???m,n(t) (4-6)
相应的离散小波逆变换为
1 f(t)???WTf(m,n)??m,n(t) (4-7)
C?mn4.1.2 多尺度分析与正交小波变换
多尺度分析又称多分辨率分析，是S . Mallat在研究图像处理工程问题时建立的这套理论。若将尺度理解为照相机镜头,当尺度较大时视野宽而分析频率低，可以作概貌的观察；当尺度较小时视野窄而分析频率高，可以做细节的观察。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及静地观察目标。这就是多尺度的思想。Mallat利用正交小波基的多尺度特性，将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量”，从而达到将图像在空间-频率域分解的目的。同时，Mallat还提出了一种简单的正交小波基构造方法，并构造了正交小波变换的快速算法。以下简单地介绍多尺度分析理论和正交小波变换。
定义函数?(t)?L2(R)为尺度函数(Scale Function)，如果其整数平移序列?(t?k)满足标准正交性，即
?(t?k),?(t?l)??k,l。 (4-8)
空间L2(R)中的多尺度分析，是指满足以下条件的一系列闭子空间? Vj?,j?Z：（1）一致单调性 ...?V2?V1?V0?V?1?...； (4-9) (2）渐近完整性 ?Vj??0?，?Vj?L2(R)； (4-10)
j?Zj?Z（3）伸缩规则性 f(t)?Vj?f(2jt)?V0； (4-11) （4）平移不变性 f(t)?V0?f(t?n)?V0，对所有的n?Z； (4-12) （5）正交基存在 存在?(t)?L2(R)，使得??(t?n)?,n?Z是V0的正交基，即有
V0?span??(t?n)?，??(t?n)?(t?m)dt??n,m。 (4-13)
nR由于?(t?n)是V0的正交基，由以上性质知，?j,n(t)?2(2?jt?n)也必是Vj的正交基。因此，多尺度分析实际上是由尺度函数?(t)伸缩平移系列张成的一系列尺度空间。 由多尺度分析的性质(4-9)可知，这样，我们可定义Wj为VjVj是相互包含的，在Vj?1中的正交补空间，即有
Vj?1?Vj?Wj, Vj?Wj (4-14)
?j2显然，任意子空间Wm与Wn相互正交，即Wm?Wn，当m?n和m,n?Z时。
由多尺度分析性质(4-10)可知，
2mj??? L(R)??Wj?Vm (4-15)
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通常，我们称Wj为尺度j下的小波空间，它包含信号在相邻尺度空间投影之间的细小差别，即细节信息。称Vj为尺度j下的尺度空间，它包含信号的概貌信息。显然，随着尺度j的增大，Vj包含的信息越来越少；反之，Vj包含的信息越来越多，也就越逼近于原始信号。 由公式(4-15)知，对于f(t)?L2(R)，可有如下展开： f(t)?j???k?????dm?j,k?j,k(t)?k????c?m,km,k?(t) (4-16)
其中，dj,k?f(t),?j,k(t)，cj,k?f(t),?j,k(t)，前者称为j尺度空间的小波系数，后者称为j尺度空间的尺度系数。 在相邻的尺度空间Vj?1和Vj之间，在相邻的尺度空间Vj?1和小波空间Wj之间，它们的基函数存在着著名的二尺度方程关系：
?(t)?2?hn?(2t?n) (4-17)
n ?(t)?2?gn?(2t?n) (4-18)
n其中，hn??,??1,n，gn??,??1,n，它们不随尺度的改变而变。则有如下关系， cj,k??hm?2kcj?1,m (4-19)
m dj,k??gm?2kcj?1,m (4-20)
m gn?(?1)n?h1?n，?nhn?2，?ngn?0 (4-21) 由此可知，j尺度空间的尺度系数cj,k和小波系数dj,k可由j?1尺度空间的尺度系数cj?1,k经滤波器系数hn和gn加权和求得。同时，由二尺度方程还可得到 cj?1,m??cj,khm?2k??dj,kgm?2k (4-22)
kk即小波变换系数的重建公式。此即为Mallat快速小波分解算法和重构算法，示意图如下：
cm cm?1 cm?2 ? cm?n dm?1 dm?2 ? dm?n
(a) Mallat小波分解快速算法
dm?n dm?n?1 ? dm?1 cm?n cm?n?1 ? cm?1 cm
(b) Mallat小波重构快速算法
图4.1 Mallat小波变换快速算法图
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