人教A版高中数学选修1－2全册同步课时练习
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
填一填
1.线性回归模型
(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．
(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
^^
(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx^
＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
－－
? ?xi－x??yi－y?^b＝
i＝1
nn
n
－－
?xiyi－nxy
i＝1n
＝－
， －
? ?xi－x?2
i＝1
2
?x2i－nxi＝1
^－^－－－
a＝y－bx，其中(x，y)称为样本点的中心．
(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
2．残差的概念
对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i
^^^^^
＝1,2，…，n，其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，ei称为相应于点(xi，yi)的残差．
3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
(2)残差平方和法
^
残差平方和? (yi－yi)2越小，模型拟合效果越好．
i＝1n
(3)利用R2刻画回归效果
? ?yi－yi?2
R2＝1－i＝1n
n
^
，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表－
? ?yi－y?2
i＝1
示回归的效果越好．
4．非线性回归模型 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型，再
通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程. 判一判 ^^^^^1.回归方程y＝bx＋a中的b表示当x每增加一个单位时，y的变化量．(√)
2．R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．(√)
3．散点图是判断两个变量是否有相关关系的工具之一．(√)
4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的
1
散点图中，若所有点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相
2
关系数为1.(√)
^^^－－
5．回归直线y＝bx＋a不一定过点(x，y)．(×)
^^^－－
解析：回归直线y＝bx＋a一定过点(x，y)，故错误． 6．在线性回归模型中，e是bx＋a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量．(×) 解析：e是一个不可观测的量，故不正确. 想一想 1.两个变量之间的关系分几类？ 提示：分两类：①函数关系，②相关关系．
函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系． 2．什么叫回归分析？
提示：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 3．回归分析的一般步骤是什么？
提示：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
^^^
(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．
4．请问产生随机误差的主要原因有哪些？
提示：(1)所选用的模型不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在测量误差． 5．利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？ 提示：解释变量和预报变量之间的关系是相关关系而非函数关系，由回归方程得到的是预报值而非实际值．
6．给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？
提示：一般有三种方法来判断拟合效果：①残差平方和法：残差平方和越小，拟合效果越好；②残差图中的点分布的带形区域宽度越窄，拟合精度越高；③相关指数法：相关指数R2越接近于1，模型的拟合效果越好．例如R2≈0.64，表示“解释变量对于预报变量的贡献率为64%.”
7．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食习惯，是否喜欢运动等．
思考感悟：
练一练
1．在下列各量之间，存在相关关系的是( ) ①正方体的体积与棱长之间的关系；
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④家庭的支出与收入之间的关系； ⑤某户家庭用电量与电价之间的关系． A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④ 答案：D
2．关于残差图的描述错误的是( ) A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量 C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 解析：残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项C.
答案：C
3．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：^
y ＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 答案：0.254
4．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为第________个．
解析：由题图可知第六个数据的偏差最大，故不准确的为第六个． 答案：六
知识点一 线性回归方程 1.在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①，故选D.
答案：D
2．如图所示，图中有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大( )
A．E B．C C．D D．A
解析：通过散点图可以看出，除点E外的四点基本分布在一条直线的附近，而点E偏离较远．
答案：A
3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 ^^^^^－^－(1)求线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
－8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9
解析：(1)x＝＝8.5，
6
－1
y＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
6^^－^－∵b＝－20，a＝y－bx， ^
∴a＝80＋20×8.5＝250，
^
∴线性回归方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，则 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
33
x－?2＋361.25， ＝－20??4?
∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大. 知识点二 回归分析的基本思想 4.下列现象的线性相关程度最高的是( ) A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94 C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51 D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81 解析：|r|越接近1，相关程度越高．故选B. 答案：B
5．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
解析：选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，故选B.
答案：B
6．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； (2)求y与x之间的回归方程；
(3)计算残差、相关指数R2，并描述解释变量与预报变量之间的关系． 解析：(1)所求散点图如下图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则得下列数据表：
x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 ^由计算器算得z＝0.69x＋1.112，则有 ^＋
y＝e0.69x1.112. (3)由题意得：
^6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y y 6 12 25 49 95 190
－2n2－2
? (yi－yi)＝?yi－ny＝25 553.3，
i＝1
i＝1
n
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