以C为坐标原点，以CD的方向为x轴正方向，CB方向为y轴正方向，CA的方向为z
轴正方向建立空间直角坐标系. 则D（1，0，0），A（0，0，1）， 直线a的单位方向向量a?(0,1,0),a?1. B点起始坐标为（0，1，0）
， 直线b的单位方向向量b?(1,0,0),b?1. 设B点在运动过程中的坐标B'(cos?,sin?,0)， 其中?为CB'与CD的夹角，??[0,2?).
那么AB'在运动过程中的向量AB'?(cos?,sin?,?1),AB'?2. 设直线AB'与a所成的夹角为??[0,2?],
cos??(cos?,sin?,?1)?(0,1,0)2aAB?2sin??[0,22], 故??[?4,?2],所以③正确，④错误. 设直线AB'与b所成的夹角为?，则??[0,2?],
cos??AB'?bbAB'
?(cos?,sin?,?1)?(1,0,0)bAB'
=22cos?. 当AB'与a成60?角时，?=?3，
sin?=2cos?=2cos?123=2?2=2.
因为sin2?+cos2?=1,
所以cos?=22. 所以cos?=22cos?=12.
数学试卷 第11页（共18页） 因为??[0,2?], 所以?=?3，此时AB'与b成60?角.
所以②正确，①错误.
三、解答题
17.【答案】解：
（1）由已知得tanA??3，所以A=2π3. 在
ABC中，由余弦定理得28?4?c2?4ccos2π3，即c2+2c?24=0. 解得c??6，（舍去），c=4
（2）由题设可得?CAD=π2，所以?BAD??BAC??CAD?π6.
1πABD2ABADsin6故面积与ACD面积的比值为1?12ACAD 又
ABC的面积为12?4?2sin?BAC?23，所以?ABD的面积为3. 【解析】（1））先求出角A,再根据余弦定理求出c即可；（2）根据ABD，ACD，
ABC的面积之间的关系求解即可.
18.【答案】解：
（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
P?X?200??2?1690?0.2，
数学试卷 第12页（共18页）
P?X?300??3690?0.4，P?X?500??25?7?490?0.4. 因此X的分布列为
X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
200≤n≤500
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y?6n?4n?2n；
若最高气温位于区间?20，,25?，则Y?6?300?2（n?300）?4n?1200?2n; 若最高气温低于20，则Y?6?200?2（n?200）?4n?800?2n; 因此EY?2n?0.4?（1200?2n）?0.4??800?2n??0.2?640?0.4n. 当200≤n?300时，
若最高气温不低于20，则Y?6n?4n?2n;
若最高气温低于20，则Y?6?200?2（n?200）?4n?800?2n; 因此EY?2n??0.4?0.4???800?2n??0.2?160?1.2n. 所以n?300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【解析】（1）根据表格提供的数据进行分类求解即可；（2)根据分布列得到关于利润的
函数表达式，进而求解最值. 19.解：
（1）由题设可得，?ABD??CBD,从而AD?DC. 又?ACD是直角三角形，所以?ACD=900.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO?AC,DO?AO. 又由于?ABC是正三角形，故BO?AC. 所以?DOB为二面角D?AC?B的平面角. 在Rt?AOB中，BO2?AO2?AB2.
又AB?BD，所以BO2?DO2?BO2?AO2?AB2?BD2，故?DOB=900.
数学试卷 第13页（共18页） 所以平面ACD?平面ABC.
（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，
OA的方向为x轴
正方向，
OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A(1，0，0),B(0，3，0),C(?1，0，0),D(0，0，1).
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的
距离为D到平面ABC的距离的1，即E为DB的中点，得E??31?2?0，，?22??，故
?AD???1，0，1?，AC???2，0，0?，AE???31???1，， ?22???设n=?x,y,z?是平面DAE的法向量，则???nAD?0，??nAE?0，
??x?z?0，即?????x?32y?12z?0. 可取n=??3??1,.
?3,1???设m是平面AEC的法向量，则???mAC?0，同理可得AE?0，m??0,?1,3?.
??m则cosn,m?nmnm?77. 所以二面角D?AE?C的余弦值为77. 数学试卷 第14页（共18页）
【解析】（1）通过题目中的边角关系证明线线垂直，进而得二面角D?AC?B的平面
角为?DOB，最后利用勾股定理的逆定理得?DOB ?90?，从而得证；（2）根据（1）中得到的垂直关系，建立空间直角坐标系计算即可. 20.【答案】
解：（1）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,l:x?my?2.
由??x?my?2，y22可得?2my?4?0,则y1y?y?2x2??4. 2又xy211=2,xy22?y1y2?2=2,故x1x2=4=4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1y2x=?4=?1，所以OA?OB. 1x24故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=m?y1+y2?+4=2m2?4. 故圆心M的坐标为?m2+2，m?，圆M的半径r??m2?2?2?m2. 由于圆M过点P（4，?2），因此APBP?0,故?x1?4??x2?4???y1?2??y2?2??0，即x1x2?4?x1+x2??y1y2?2?y1?y2??20?0 由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4， 所以2m2?m?1?0，解得m?1或m??12.
数学试卷 第15页（共18页） 当m?1时，直线l的方程为x?y?2?0，圆心M的坐标为（3，1），圆M的半径为10，圆M的方程为?x?3?2??y?1?2?10. 当m??12时，直线l的方程为2x?y?4?0，圆心M的坐标为??9?4，-1?2??，圆M的半径为854，圆M的方程为??9?2?1?285?x?4??+??y+2???16.
【解析】（1）设出l的方程，通过联立方程，证明直线OA与OB的斜率之积为?1即可； （2）根据（1）的结论及P点的坐标即可求解直线与圆的方程. 21.【答案】解：（1）f?x?的定义域为?0，+??.
①若a?0，因为f??1??=-1?2?2+aln2＜0，所以不满足题意； ②若a＞0，由f'x???1?ax?xa?x知，当x??0,a?时，f'?x?＜0；当x??a，+??时，f'?x?＞0，所以f?x?在?0,a?单调递减，在?a，+??单调递增，故x?a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值点.
由于f?1??0，所以当且仅当a?1时，f?x??0. 故a?1.
（2）由（1）知当x??1，+??时，x?1?lnx＞0. 令x=1+12n得ln???1+1?12n??＜2n，从而 ln???1+1?2??+ln???1+1?2?+???+ln???1+1?11112?2n??＜2+22+???+2n=1-2n＜1
故??1+1????1??2??1+22????????1+1?2n??＜e 而??1+1?????2??1+1??22????1+1?23??＞2，所以m的最小值为3. 【解析】（1）通过求函数的导数，对函数的单调性进行研究，求解函数最小值点即可；
（2)将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可.
数学试卷 第16页（共18页）
22.【答案】（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?；消去参数m得l2的普通方
程l:y?12k?x?2?.
?y?k?x?2?设P（x,y）,由题设得???1，消去k得x2?y2?4?y?0?. ?y?k?x?2?所以C的普通方程为x2?y2?4?y?0?. （2）C的极坐标方程为r2?cosq2?sin2q??4?0＜q＜2π,q?π?. ??r2?cos2q?sin2q???4联立得cosq?sinq=2q+sinq?-2=0?cosq+sinq?.
??r?cos故tanq??1，从而cosq2=921310，sinq=10. 代入r2?cos2q-sin2q?=4得r2=5，所以交点M的极径为5.
【解析】（1）先将两条直线的参数方程化为普通方程，联立，消去k即可得所求曲线C的普通方程；（2）先将（1）中求得的曲线C的普通方程化为极坐标方程，再与l3的极坐标方程联立，求出M的极径即可.
??3,x＜?1，23.【答案】解：（1）f?x????2x?1,?1?x?2， ??3,x＞2.当x＜?1时，f?x??1无解；
当?1?x?2时，由f?x??1得，2x?1?1，解得1?x?2 当x＞2时，由f?x??1解得x＞2. 所以f?x??1的解集为?xx?1?.
（2）由f?x??x2?x?m得m?x?1?x?2?x2?x，而
数学试卷 第17页（共18页） x?1?x?2?x2?x?x+1+x?2?x2?x2=????x?3?52??+4
?54,且当x?32时，x?1?x?2?x2?x=54. 故m的取值范围为??-?，5??4??.
【解析】（1）直接分段讨论即可解决问题；
（2）先分离出参数m，再将问题转化为最值问题，进而求解参数的取值范围.
数学试卷 第18页（共18页）
2017年高考理科数学全国卷3及答案解析
