微分中值定理证明中辅助函数的构造
1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点:(1)将要证的结论中的?换成x;(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;(3)用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号),并取积分常数为零;(4)移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数F(x).
例1:证明柯西中值定理.
分析:在柯西中值定理的结论
f(b)?f(a)f'(?)中令??x,得?g(b)?g(a)g'(?)f(b)?f(a)f'(x)f(b)?f(a),先变形为?g'(x)?f'(x)再两边同时积分得
g(b)?g(a)g'(x)g(b)?g(a)f(b)?f(a)g(x)?f(x)?Cg(b)?g(a)F(x)?f(x)?,令C?0,有f(x)?f(b)?f(a)g(x)?0故
g(b)?g(a)f(b)?f(a)g(x)为所求辅助函数.
g(b)?g(a)aa1a2??…?n?0的实数.证明方程23n?1例2:若a0,a1,a2,…,an是使得a0?a0?a1x?a2x2?…?anxn?0在(0,1)内至少有一实根.
证:由于?(a0?a1x?a2x2?…?anxn)dx?a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1?C 23n?1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设
F(x)?a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1(取C?0),则 23n?11)F(x)在[0,1]上连续 2)F(x)在(0,1)内可导
》
aa1a2??…?n?0 23n?13)F(0)=0, F(1)?a0?故F(x)满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在??(0,1)使F'(?)?0,即
(a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1)'x???0亦即a0?a1??a2?2?…?an?n?0. 23n?1这说明方程a0?a1x?a2x2?…?anxn?0在(0,1)内至少有实根x??.
2 积分法
对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,f(1)?存在??(1,2)使f'(?)?2f(?)1,f(2)?2.证明2?.
分析:结论变形为?f'(?)?2f(?)?0,不易凑成F'(x)x???0.我们将?换为x,结论变形为
f(x)f(x)f'(x)2??0,积分得:lnf(x)?2lnx?ln2?lnc,即2?c,从而
xxf(x)xf(x)1F(1)?F(2)?,有.本题获证.
x22可设辅助函数为F(x)?例4:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,f(a)?f(b)?0.证明存在??(a,b),使得:f'(?)?f(?)g'(?)?0.
证:将f'(?)?f(?)g'(?)?0变形为f'(?)??f(?)g'(?)?f'(x)??g'(x)f(x)f'(?)??g'(?),将?换f(?)为x,则,两边关于x积分,得:
?f'(x)dx???g'(?)dx?f(x)?1d[f(x)]???d[g(x)]?lnf(x)??g(x)?C,所以f(x)f(x)?exp(?g(x)?C)?exp(?g(x))exp(C)?Kexp(?g(x)),其中K?exp(C),由f(x)?Kexp(?g(x))可得K?f(x)exp(g(x)).由上面积分的推导可知,f(x)exp(g(x))为一常数K,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的?的存在是不成问题的.因而令F(x)?f(x)exp(g(x)),易验证其满足罗尔定理的条件,原题得证.
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅
助函数.
,
例5:证明拉格朗日中值定理.
分析:通过弦AB两个端点的直线方程为
y?f(a)?f(b)?f(a)(x?a),则函数f(x)与
b?a直线AB的方程之差即函数
f(b)?f(a)(x?a)]在两
b?aF(x)?f(x)?[f(a)?个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.
例6:若f(x)在[a,b]上连续且f(a)?a,f(b)?b.试证在(a,b)内至少有一点?,使f(?)??.
分析:由图可看出,此题的几何意义是说,连续函数y?f(x)的图形曲线必跨越y?x这一条直线,而两者的交点的横坐标?,恰满足f(?)??.进而还可由图知道,对[a,b]上的同一自变量值x,这两条曲线纵坐标之差f(x)?x构成一个新的函数
g(x),它满足g(a)<0,g(b)>0,因而符合介值定理
的条件.当?为g(x)的一个零点时,g(?)?0恰等价于f(?)??.因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x)?f(x)?x.
4 常数k值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1)将结论变形,使常数部分分离出来并令为k.
2)恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b及f(b)构成的代数式.
3)观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是,则把其中一个端点设为x,相应的函数值改为f(x).
中值定理构造辅助函数
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)