中值定理构造辅助函数

由天下分享时间：2025/2/23 18:34:45 加入收藏我要投稿点赞

微分中值定理证明中辅助函数的构造

1 原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的?换成x；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F(x)．

例1：证明柯西中值定理．

分析：在柯西中值定理的结论

f(b)?f(a)f'(?)中令??x，得?g(b)?g(a)g'(?)f(b)?f(a)f'(x)f(b)?f(a)，先变形为?g'(x)?f'(x)再两边同时积分得

g(b)?g(a)g'(x)g(b)?g(a)f(b)?f(a)g(x)?f(x)?Cg(b)?g(a)F(x)?f(x)?，令C?0，有f(x)?f(b)?f(a)g(x)?0故

g(b)?g(a)f(b)?f(a)g(x)为所求辅助函数．

g(b)?g(a)aa1a2??…?n?0的实数．证明方程23n?1例2：若a0,a1,a2,…,an是使得a0?a0?a1x?a2x2?…?anxn?0在（0，1）内至少有一实根．

证：由于?(a0?a1x?a2x2?…?anxn)dx?a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1?C 23n?1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设

F(x)?a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1（取C?0），则 23n?11）F(x)在[0，1]上连续 2）F(x)在（0，1）内可导

》

aa1a2??…?n?0 23n?13）F(0)=0， F(1)?a0?故F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在??(0,1)使F'(?)?0，即

(a0x?aa12a23x?x?…?nxn?1)'x???0亦即a0?a1??a2?2?…?an?n?0． 23n?1这说明方程a0?a1x?a2x2?…?anxn?0在（0，1）内至少有实根x??．

2 积分法

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．例3：设f(x)在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，f(1)?存在??(1,2)使f'(?)?2f(?)1，f(2)?2．证明2?．

分析：结论变形为?f'(?)?2f(?)?0，不易凑成F'(x)x???0．我们将?换为x，结论变形为

f(x)f(x)f'(x)2??0，积分得：lnf(x)?2lnx?ln2?lnc，即2?c，从而

xxf(x)xf(x)1F(1)?F(2)?，有．本题获证．

x22可设辅助函数为F(x)?例4：设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，f(a)?f(b)?0．证明存在??(a,b)，使得：f'(?)?f(?)g'(?)?0．

证：将f'(?)?f(?)g'(?)?0变形为f'(?)??f(?)g'(?)?f'(x)??g'(x)f(x)f'(?)??g'(?)，将?换f(?)为x，则，两边关于x积分，得：

?f'(x)dx???g'(?)dx?f(x)?1d[f(x)]???d[g(x)]?lnf(x)??g(x)?C，所以f(x)f(x)?exp(?g(x)?C)?exp(?g(x))exp(C)?Kexp(?g(x))，其中K?exp(C)，由f(x)?Kexp(?g(x))可得K?f(x)exp(g(x))．由上面积分的推导可知，f(x)exp(g(x))为一常数K，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的?的存在是不成问题的．因而令F(x)?f(x)exp(g(x))，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．

3 几何直观法

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅

助函数．

例5：证明拉格朗日中值定理．

分析：通过弦AB两个端点的直线方程为

y?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)，则函数f(x)与

b?a直线AB的方程之差即函数

f(b)?f(a)(x?a)]在两

b?aF(x)?f(x)?[f(a)?个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．

例6：若f(x)在[a,b]上连续且f(a)?a,f(b)?b．试证在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??．

分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数y?f(x)的图形曲线必跨越y?x这一条直线，而两者的交点的横坐标?，恰满足f(?)??．进而还可由图知道，对[a,b]上的同一自变量值x，这两条曲线纵坐标之差f(x)?x构成一个新的函数

g(x)，它满足g(a)<0,g(b)>0,因而符合介值定理