高中数学课时跟踪检测二十复数代数形式的乘除运算含解
析新人教A版选修221029437
课时跟踪检测（二十） 复数代数形式的乘除运算
一、题组对点训练 对点练一 复数的乘除运算
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2
B．i2
(1－i) C．(1＋i)2
D．i(1＋i) 解析：选C A项，i(1＋i)2
＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2
(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2
＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2
＝－1＋i，不是纯虚数．故选C. 2．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝
3－i
1＋2i
，则|z|＝( ) A．2 B．3 C．2 D．1 解析：选C 法一：∵z＝3－i?3－i??1－2i?1－7i
1＋2i＝?1＋2i??1－2i?＝5，
∴|z|＝ ??1?5??2?＋???－75??2?
＝2.
法二：|z|＝??
3－i?1＋2i???＝105
＝2.
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2
＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2 解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i1
i＝i＋1＝1－i.
∴z2
＝(1－i)2
＝1＋i2
－2i＝－2i. 4．计算：
(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2
；(2)4＋4i11－3i＋i；
2
(3)?2＋i??1－i?1－2i
. 解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4) ＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝?4＋4i??1＋3i?i
?1－3i??1＋3i?＋i·i
- 1 -
＝
4＋43i＋4i－43i
＋ 4－1
＝(1－3)＋(3＋1)i－i ＝(1－3)＋3i.
?2＋i??1－2i－1??2＋i?·?－2i?2－4i
(3)原式＝＝＝＝2.
1－2i1－2i1－2i对点练二 共轭复数
－3＋i
5．复数z＝的共轭复数是( )
2＋iA．2＋i C．－1＋i
B．2－i D．－1－i
－3＋i?－3＋i??2－i?
解析：选D z＝＝＝－1＋i，z＝－1－i.
2＋i?2＋i??2－i?6．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3 i，z·z＝4，则a＝( ) A．1或－1 B.7或－7 C．－3 D.3
解析：选A 法一：由题意可知z＝a－3 i，
∴z·z＝(a＋3 i)(a－3 i)＝a＋3＝4，故a＝1或－1. 法二：z·z＝|z|＝a＋3＝4，故a＝1或－1.
7．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a＋b－3b－3ai＝1＋3i，
??a＋b－3b＝1，
则有?
?－3a＝3，???a＝－1，解得?
?b＝0?
2
2
2
2
2
2
2
??a＝－1，
或?
?b＝3.?
所以z＝－1或z＝－1＋3i. 对点练三 复数范围内的方程根问题
xy5
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
1－i1－2i1－3i
解析：
＋＝1－i1－2i
xyx?1＋i?y?1＋2i??xy??x2y?＋＝?＋?＋?＋?i，
2
5
?25??25?
- 1 -
而
55?1＋3i?13
＝＝＋i， 1－3i1022
xy1x2y3所以＋＝且＋＝，
252252
解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4. 答案：4
?1－i?＋3?1＋i?
9．已知复数z＝.
2－i(1)求复数z；
(2)若z＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． －2i＋3＋3i3＋i?3＋i??2＋i?
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
2－i2－i5(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)＋a(1＋i)＋b＝1－i， 即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
?a＋b＝1，?
所以?
??2＋a＝－1，
2
2
2
解得?
?a＝－3，???b＝4.
二、综合过关训练
1．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限
2
B．第二象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3＋i2．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝( ) 2
?1－3i?11
A． B． C．1 D．2 42
3＋i3＋i3＋i?3＋i??1－3i?3解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－2
－2×44?1－3i?1－3－23i－2?1＋3i?1
＋i， 4
∴z＝－
31－i. 44
∴z·z＝?－
??31??31?311＋i??－－i?＝＋＝. 44??44?16164
3＋i|3＋i|21
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝. 22
?1－3i?|1－3i|42
- 1 -
12
∴z·z＝|z|＝.
4
z2－2z3．已知复数z＝1－i，则＝( )
z－1
A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：选B 法一：因为z＝1－i，
z2－2z?1－i?2－2?1－i?－2所以＝＝＝－2i.
z－11－i－1－i
z2－2z?z－1?2－1?－i?2－12法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
z－1z－1－ii
4．设i是虚数单位， z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝( ) A．1＋i C．－1＋i
B．1－i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，又z·zi＋2＝2z， ∴(a＋b)i＋2＝2a＋2bi， ∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
2
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
1－i
22?1＋i?
解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b1－i?1－i??1＋i?＝2.
答案：2
2
2
a－i
6．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
2＋i
a－i?a－i??2－i?2a－12＋a2＋a解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
2＋i?2＋i??2－i?555
答案：－2
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2
是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
1－i?1－i?1－2i－1
∴z1－2＝＝＝＝－i，
1＋i?1＋i??1－i?2∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
2
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8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
，且|ω|＝52，求ω. 2＋i
z由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
2＋i
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，∴7x－y＝0.① 又|ω|＝52，∴x＋y＝50.②
??x＝1，
由①②得?
?y＝7?
2
2
z
??x＝－1，
或?
?y＝－7.?
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
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