高等数学B二模拟试卷
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《高等数学B》（二）模拟试卷（12）
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为A(1,?1,0), B(2,0,1), C(?1,3,0), 求该三角形的面积 。
2.求直线x?5y?11z?9与球面(x?2)2?(y?1)2?(z?5)2?49的交点。 3?5??4
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 设z?u2lnv，u?x?y,v?xy，求?z?x,?z.
?y
2. 设u?ex?ysinx，求?2u2?x2,?u. ?x?y
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 计算??x2eyd?，其中D是矩形区域 x?1,y?1.
D
2. 计算二重积分
??xdxdy，其中区域D是由x2?y2?4，x?0，D面区域.
y?0所确定的平
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 解微分方程dydx?e2(x?y).
2. 求差分方程yx?2?5yx?1?6yx?0的通解.
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A、B的数量x,y间有关系式
p(x,y)?0.005x2y，欲用300元购料，已知A、B原料的单价分别为1元、2元，问购
进两种原料各多少，可使生产数量最多
六、(9分) 证明级数??sin1收敛. n?1n(n?1)
七、(9分)求微分方程y???y??5x2的通解.
八、(9分) 把函数f(x)??xex2展开成x的幂级数.
《高等数学B》（二）模拟试卷（12）解答
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为A(1,?1,0),B(2,0,1),C(?1,3,0).求该三角形的面积. 解 AB?{1,1,1},AC?{?2,4,0}，因此 …….…2
?i?jk?1S?ABC?12AB?AC?12111?56?14. …….……….…2+2+2 2?240
2. 求直线x?5?y?11?z?9与球面(x?2)2?(y?1)2?(z?5)2?49的交点.
35?4解 把直线的参数方程 ??x?3t?5?y?5t?11 ………3
??z??4t?9代入球面方程得 t1?2，t2?3.故得交点为 M1(1,?1,1)，M2(4,4,?3). .. 5
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 设z?u2lnv，u?x?y,v?xy，求
?z?x,?z?y.
解 ?z2(x?y)2?x??z?u?u?x??z?v?v?x?2ulnv?uv?y?2(x?y)lnxy?x …….…..4
?z?y??z?u?u?y??z?v2?v?y?2ulnv?uv?x?2(x?y)lnxy?(x?y)2 y . ……4
2. 设u?ex?ysinx，求?2u?2u； ?x2,?x?y
2?u?ux?yx?yx?y解 ，?esinx?ecosx?2ecosx …….2+3 2?x?x?2uex?ysinx?ex?ycosx….…3
??x?y
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 计算
??xed?2yD，其中D是矩形区域
x?1,y?1.
133?edyxdx?(e?e)?[1?(?1)]?2(e?1)?1?13解 原式
3e. ………4+2+2
?1y?121?1
2. 计算二重积分
??D22，其中区域是由Dxxdxdy?y2?4，x?0，y?0所确定的
平面区域. 解
??xdxdy??dx?D04?x20xdy??208.……4+2+2
x4?xdx?32
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
dy?e2(x?y). dx解 原方程可化为 e?2ydy?e2xdx …………3
1. 解微分方程两边积分得 解得 e
2. 求差分方程yx?2?5yx?1?6yx?0的通解.
解 特征方程为 ?2?5??6?0 解得 ?1?2,?2?3…………..2+3 所以该方程的通解为 y?C12x?C23x (C1,C2为任意常数). ….……3
?2y?e?2ydy?e2xdx…………2
??e2x?C (C为任意常数). ………….3
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A、B的数量x,y间有关系式
p(x,y)?0.005x2y，欲用300元购料，已知A、B原料的单价分别为1元、2元，问
购进两种原料各多少，可使生产数量最多
解 依题意得 x?2y?300………………..1
则拉格朗日函数为 F(x,y)?0.005x2y??(x?2y?300)……....3
………3
解得 x?200,y?50.
答：购进两种原料x?200,y?50，可使生产数量最多. ……2
?Fx??0.01xy???01六、(9分)证明级数收敛. ?2sin?Fy??0.005x?2??0n(n?1)n?1?F??x?2y?300?0????
证明 因为 sin又
七、(9分) 求微分方程y???11，…….…….4
?n(n?1)n(n?1)?1收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2
n?1n(n?1)?y??5x2的通解.
解 对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2ex.…….3 设原方程的一个特解为 y?代入得 2a?(ax2?ax2?bx?c，
?bx?c)??5x2，解得 a?5，b?0，c?10，
?5x2?10. ……….…….…3
所以原方程的一个特解为 y?故所给方程的通解为
y?Y?y?C1e
??x2?5x?10(C1，C2为任意常数). …………3 ?C2ex八、(9分)把函数f(x)??xe展开成x的幂级数.
x22nxx解 ?ex?1?x??????，x?(??,??)………3 2!n!42n2xx?ex?1?x2??????，x?(??,??) ………3
2!n!因此 f(x)??xex2??x?x3?x5???x2n?1??，2!n!x?(??,??). ……3
高等数学B二模拟试卷
