第二章 第4讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
12
1. [2013·开封模拟]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝( )
221
A. 23
C. 2答案：C
解析：∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1. 12又f(x)的图象过点(，)，
22
12113∴()α＝，∴α＝，∴k＋α＝1＋＝. 22222
2. 已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( ) A. a≤2或a≥3 C. a≤－3或a≥－2 答案：A
解析：对称轴a≤2或a≥3，函数在(2,3)内单调递增，选A项． 3. [2013·南宁段考]已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x f(x) 则不等式f(|x|)≤2的解集是( ) A. {x|－4≤x≤4} C. {x|－2≤x≤2} 答案：A 解析：由题表知
21α1
＝()，∴α＝，∴f(x)＝222
. B. {x|0≤x≤4} D. {x|0 ∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 4. [2013·威海模拟]已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的 最大值为( ) A. 1 C. 0 答案：A 解析：∵f(x)＝－x2＋4x＋a ＝－(x－2)2＋4＋a，且x∈[0,1]， ∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴a＝－2， f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1. 5. [2013·杭州模拟]函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是( ) A. a≤0 C. －4 解析：当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0； 当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0， B. a<－4 D. －4 ?a<0∴?2，∴－4 综上可知：－4 6. [2013·陕西五校联考]已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( ) A. [1,3] C. [2－2，2＋2] 答案：D 解析：函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)>－1，即－b2＋4b－3>－1，∴b2－4b＋2<0，∴2－2 7. [2013·广州一测]已知幂函数y＝(m2－5m＋7)xm2－6在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为________． 答案：3 解析：由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3， m＝2时，y＝x－2在(0，＋∞)递减， B. (1,3) D. (2－2，2＋2) m＝3时，y＝x3在(0，＋∞)递增，故m＝3. 8. [2013·抚顺模拟]已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________． 31答案：{y|1≤y≤} 27 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数， ∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称， 1 即a－1＝－2a，∴a＝， 3 ∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数， 即f(－x)＝f(x)，∴b＝0， 122 ∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]， 33331 其值域为{y|1≤y≤}． 279. [2013·金版原创]已知函数f(x)＝ ，给出下列命题： ①若x>1，则f(x)>1；②若0 ④若0 22 则所有正确命题的序号是________． 答案：①④ 解析：对于①，f(x)＝ 是增函数，f(1)＝1，当x>1时，f(x)>1，①正确； f?x2?－f?x1? 对于②，>1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错； x2－x1对于③， f?x1?－0f?x2?－0 <，说明图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))到原点连线的斜率越x1－0x2－0 来越大，由图象可知，③错； f?x1?＋f?x2?x1＋x2 对于④， 22三、解答题 10. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1 解：设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)， 则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x， f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0， 16a2＋16a＋4－36a2＝0,20a2－16a－4＝0， 5a2－4a－1＝0，(5a＋1)(a－1)＝0， 1 解得a＝－，或a＝1(舍去) 5 1163 因此f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)(x－3)－2x＝－x2－x－. 5555 11. [2013·聊城调研]已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若当x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝(x＋ a2a2 )－＋3－a. 24 a7 ①当－<－2，即a>4时，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤，又a>4， 23故此时a不存在． aaa2 ②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝f(－)＝3－a－≥0， 224∴a2＋4a－12≤0. ∴－6≤a≤2. 又－4≤a≤4， ∴－4≤a≤2. a ③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0， 2∴a≥－7. 又a<－4，故－7≤a<－4. 综上得－7≤a≤2. 12. [2013·德州模拟]是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2. 当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数， ??f?－1?＝1＋3a＝－2，∴??a＝－1(舍去)； f?1?＝1－a＝2?? 当－1≤a≤0时， 2??f?a?＝a－a＝－2， ?a＝－1； ? ?f?1?＝1－a＝2? 当0 2??f?a?＝a－a＝－2， ?a不存在； ? ??f?－1?＝1＋3a＝2 当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数， ??f?－1?＝1＋3a＝2，∴??a不存在． ??f?1?＝1－a＝－2 综上可得a＝－1.
高考数学(理)总复习限时规范训练2.4幂函数与二次函数
