精品文档
函数与导数
1. 已知函数f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R,其中t?R. (Ⅰ)当t?1时,求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)当t?0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
322 (Ⅰ)解:当t?1时,f(x)?4x?3x?6x,f(0)?0,f?(x)?12x?6x?6
32
f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.
22 (Ⅱ)解:f?(x)?12x?6tx?6t,令f?(x)?0,解得x??t或x?t. 2
因为t?0,以下分两种情况讨论:
(1)若t?0,则t??t,当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表: 2t????,?? 2??+ x ?t?,?t?? 2??- ??t,??? + f?(x) f(x)
所以,f(x)的单调递增区间是???,??t??t?,?t,?t,??;f(x)的单调递减区间是????。 ?2??2? (2)若t?0,则?t?t,当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表: 2t???t,?? 2??- x ???,t? + ?t?,???? 2??+ f?(x) f(x)
所以,f(x)的单调递增区间是???,?t?,?t???t?,???;f(x)的单调递减区间是??t,?.
?2??2?精品文档
精品文档
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当t?0时,f(x)在?0,?内的单调递减,在?递增,以下分两种情况讨论: (1)当
??t?2??t?,???内单调?2?t?1,即t?2时,f(x)在(0,1)内单调递减, 2f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.
所以对任意t?[2,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。
(2)当0?t?t??t??1,即0?t?2时,f(x)在?0,?内单调递减,在?,1?内单调递增,若2?2??2?77?1?t?(0,1],f????t3?t?1??t3?0.
44?2?
f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.
所以f(x)在?
?t?,1?内存在零点。 2??
若t?(1,2),f?7373?t???t?t?1??t?1?0. ???44?2? f(0)?t?1?0
所以f(x)在?0,
??t??内存在零点。 2?
所以,对任意t?(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。
21x?,h(x)?x. 32(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;
33(Ⅱ)设a?R,解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x);
241(Ⅲ)设n?N*,证明:f(n)h(n)?[h(1)?h(2)??h(n)]?.
6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.
解:(Ⅰ)F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0),
2. 已知函数f(x)??F?(x)??3x2?12.
精品文档
精品文档
令?F?(x)?0,得x?2(x??2舍去).
当x?(0,2)时.F?(x)?0;当x?(2,??)时,F?(x)?0,
故当x?[0,2)时,F(x)为增函数;当x?[2,??)时,F(x)为减函数. x?2为F(x)的极大值点,且F(2)??8?24?9?25.
33(Ⅱ)方法一:原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x),
24?x?a,a?x即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2,且?
4?x?1?x?4,a?x,即x2?6x?a?4?0, 4?x6?20?4a??36?4(a?4)?20?4a?0,此时x??3?5?a,∵1?x?a,
2此时方程仅有一解x?3?5?a.
a?x②当a?4时,1?x?4,由x?1?,得x2?6x?a?4?0,??36?4(a?4)?20?4a,
4?x若4?a?5,则??0,方程有两解x?3?5?a; 若a?5时,则??0,方程有一解x?3; 若a?1或a?5,原方程无解.
方法二:原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x),
①当1?a?4时,1?x?a,则x?1?1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x,??a?x?0,??a??(x?3)2?5.???(x?1)(4?x)?a?x.①当1?a?4时,原方程有一解x?3?5?a; ②当4?a?5时,原方程有二解x?3?5?a; ③当a?5时,原方程有一解x?3;
④当a?1或a?5时,原方程无解.
(Ⅲ)由已知得h(1)?h(2)??h(n)]?1?2??n,
14n?31f(n)h(n)??n?.
6661设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?f(n)h(n)?(n?N*)
64k?34k?1从而有a1?S1?1,当2?k?100时,ak?Sk?Sk?1?k?k?1.
66221(4k?3)k?(4k?1)(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]??
66(4k?3)k?(4k?1)k?111???0. 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意k?2时,有ak?k,又因为a1?1?1,所以a1?a2?则Sn?h(1)?h(2)? 精品文档
?h(n),故原不等式成立.
?an?1?2??n.
最新函数与导数经典例题(含答案)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)