7.5 空间向量及其应用
1
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
2A．(0,3，－6) C．(0,6，－6) 答案 B
1
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
22．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( ) 1414
A．－2B．－C.D．2
35答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( ) A.
5π2πππ
B.C.D. 6336
2
B．(0,6，－20) D．(6,6，－6)
答案 D
解析 ∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)， ∴cos〈a，b〉＝a·b33
＝＝，
|a||b|2×62
π
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.
64．(2020·北京海淀区模拟)在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝
xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( ) A．0B．1C．2D．3
答案 A
解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
π
5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，
3→→
点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为( ) A.
557113B.3C.3D. 2444
答案 B
→222
解析 |OA|＝?2a＋b?＝4|a|＋|b|＋4a·b＝7，
→→
OA·OB6|a|2－|b|2＋a·b1153→
同理|OB|＝7，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，
→→71414|OA||OB|15353
∴△OAB的面积S＝×7×7×＝，故选B.
2144
6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.3B.2C．1D.3－2 答案 D
→→→→
解析 ∵BD＝BF＋FE＋ED，
→2→2→2→2→→→→→→
∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2， →
故|BD|＝3－2.
7．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40) 答案 ABC
解析 对于A，有b＝－2a，
所以a与b是平行向量； 对于B，有d＝－3c， 所以c与d是平行向量；
对于C，f是零向量，与e是平行向量； 对于D，不满足g＝λh， 所以g与h不是平行向量．
8．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( ) →→→→
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0 →→→→→→
B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 →→→→
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则
P，A，B，C四点共面
答案 ACD
解析 对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点， →→→→
则AB＋BC＋CD＋DA＝0，错误；
→→→→
对于B，若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0， →→
则AB∥CD，正确；
对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 则这两个向量是共面向量，不正确；
对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， →→→→
若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，
当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．
→1→→2→→2→
9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.
333则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案 平行
→→
解析 如图，设VA＝a，VB＝b，
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量7.5空间向量及其应用练习
