2013年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分
题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1~5 二 6~10 三 11 12 13 14 总分 答题时注意：
1. 用圆珠笔或钢笔作答；
2. 2.解答书写时不要超过装订线； 3. 3草稿纸不上交。
一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1.设非零实数a、b、c满足?(A) -
?a?2b?3c?0ab?bc?ca，则2的值为（ ） 22a?b?c?2a?3b?4c?011 ( B) 0 (C) (D) 1 2222.已知a、b、c是实常数，关于x的一元二次方程ax?bx?c?0有两个非零实根，则下列关于x的一元二次方程ax?bx?c?0中，以是（ ）
(A) cx?(b?2ac)x?a?0 ( B) cx?(b?2ac)x?a?0 (C) cx?(b?2ac)x?a?0 (D) cx?(b?2ac)x?a?0 3，如图，在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB,垂足为D，DE⊥OC,垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD、OE、DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） ．．．(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC
AC2222222222222222211，为两个实根的2x12x2DEOB4、如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC上，且BC=4AF，DCFE是平行四边形，则图阴影部分(△BDE+△ADE)的面积为（ ）。
A(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
DE
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”3x3?3x2y2?xy3?45为：x*y?，33(x?1)?(y?1)?60BCF且x*y*z?(x*y)*z，则2013*2012*……*3*2的值为（ ） (A)
6071821546316389 ( B) (C) (D) 967967967967A二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
326.设a?33，b是a的小数部分，则(b?2)的值为 ７.如图，点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5则四边形AEFD的面积是 。
８.已知正整数a、b、c满足a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0，则abc的最大值为 。
22EDFBC９.实数a，b，c，d满足：一元二次方程x?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方程x?ax?b?0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为 。
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
2211.如图，抛物线y?ax?bx?3，顶点为E，该抛物线x与轴交于A，B两点，与
21y轴交于点C，且OB=OC=3OA。直线y??x?1与y轴交于点D， 3求∠DBC-∠CBE.
D
O B A C
E
12.设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求
∠BAC所有可能的度数。
13.设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z?y，
2x?y?2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论。
14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数），求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数
a1 a2? ,an，满足任意一个正整数m，在a1 a2? ,an中都至少有一个为的m魔
术数。
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