暑假作业11—计数原理A卷 一、单选题(共 20 分)
1.以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（ ）
A.56个 C.45个 【答案】D 【解析】
333
??8???5???4=42.
B.48个 D.42个
2.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A.83 【答案】A 【解析】 【分析】
利用分步计数原理进行求解. 【详解】
冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有83种不同的结果. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键. 3.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A.24 【答案】B 【解析】 【分析】
先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数. 【详解】
个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法，
其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有??44=24种排法， 由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为48种. 故选：B. 【点睛】
本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题.
4.安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A.13 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得. 【详解】
第一类，乙安排在周二，则有2??33=12种，
B.18
C.22
D.28
B.48
C.60
D.72
B.38
C.??38
3
D.??8
第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，
122
故有??12??2??2??2=16种，
根据分类计数原理可得，共有12+16=28种， 故选：D 【点睛】
本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题. 二、多选题(共 10 分)
5.2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有( )种.
24A.??6??4
2
B.??44??5
52
C.??66???5??2
4
D.??26??4
【答案】BC 【解析】 【分析】
由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确． 【详解】
242
由题意，可先排男生??44，再插入女生??5，可得两名女生不相邻的排法共有??4??5，故B正确；
52526也可先进行全排列??66，则2名女生相邻情况为??5??2，则2名女生不相邻的排法有??6???5??2，故C正确；
故选：BC. 【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题. 6.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A.分给甲?乙?丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.分给甲?乙?丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法； C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法； D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法； 【答案】ABC 【解析】 【分析】
选项??，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项??，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲?乙?丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项??，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项??，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】
222对??，先从6本书中分给甲2本，有??6种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有??4种方法；最后的2本书给丙，有??2种方法.222所以不同的分配方法有??6??4??2=90种，故??正确；
443对??，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有??6种方法；再分给甲?乙?丙三人，所以不同的分配方法有??6??3=90种，故??正
确；
22222对??，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有??6??4种方法；其余2本分给丙丁，有??22种方法.所以不同的分配方法有??6??4??2=
180种，故??正确；
对??，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有故选：??????. 【点睛】
本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 三、填空题(共 10 分)
22
??6??4
22
??6??4
??22
?
11
??2??1
??22
种方法；
??22
?
11
??2??1
??22
???44=1080种，故??错误.
7.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______. 【答案】48 【解析】 【分析】
将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，再结合排列组合中的分步原理求解即可. 【详解】
解：不妨将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，则可先在2至5号座位上选1个座位给乙坐，然后在剩下的4个座位中选2个坐丙同学和甲同学，且丙坐在甲的左边，剩下的2个座位
422坐剩下的两位同学即可，即不同的坐法共有??4??4??2=4×
4×32×1
×2×1=48，
即不同的着舰方法种数为48， 故答案为：48. 【点睛】
本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了特殊元素优先处理的解题方法，属基础题.
8.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .
【答案】84 【解析】
试题分析：由题分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法． 共有A42+2A43+A44=84． 考点：分类加法及运用排列数计数. 四、解答题(共 34 分)
9.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数. （1）??，??必须被选出； （2）至少有2名女生被选出；
（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 【答案】（1）120；（2）596；（3）25200 【解析】 【分析】
（1）从??,??以外的10人中，任选3个人，由此求得选法数.
（2）先计算出从12人任选5人的方法数，然后减去至多有1名女生被选出的方法数，由此求得选法数.
（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的10人中任选3人进行安排，由此求得选法数. 【详解】
3（1）由于??，??必须被选出，再从??,??以外的10人中，任选3个人，故选法数有??10=120种.
5514（2）从12人任选5人的方法数有??12，选出的5人中没有女生的方法数有??7，选出的5人中有1名女生的方法数有??7???5. 5514所以至少有2名女生被选出的选法数为??12???7???7???5=792?21?175=596.
（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的10人中任选3人安排职务，故选法数为
113??7×??5×??10=25200.
【点睛】
本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题.
10.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
（1）561；（2）5984；（3）2100；（4）2555；（5）6090. 【答案】【解析】 【分析】
（1）从余下的34种商品中，任选取2种，问题得以解决． （2）从余下的34种可选商品中，任选取3种，问题得以解决．
（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，问题得以解决． （4）分选取2种假货，选取3种假货两种情况，问题得以解决． （5）选取3种的总数减去选取3种假货得情况，问题得以解决． 【详解】
2
解：（1）从余下的34种商品中，选取2种有??34=
34×332
=561 (种)，
=5984(种).
15×142×1
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
3（2）从余下的34种可选商品中，选取3种，有??34=
34×33×323×2×1
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
12（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有??20??15=20×
=2100(种).
312
=455种，共有选取方式??20??15+??15=
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
12
（4）选取2种假货有??20??15=20×
15×142×1
3
=2100种，选取3种假货??15=
15×14×133×2×1
2100+455=2555 (种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
3
（5）选取3种的总数为??35=
35×34×333×2×1
3
=6545，选取3种假货有??15=
15×14×133×2×1
33
=455种，因此共有选取方式??35???15=6545?
455=6090 (种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 【点睛】
本题主要考察了排列、组合及简单计数问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 11.如图，从左到右有5个空格.
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ （2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？ （3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【答案】（1）96；（2）48；（3）16800 【解析】 【分析】
（1）直接利用排除法计算得到答案. （2）根据乘法原理计算得到答案.
（3）将情况分为2?2?1?1?1的5组和3?1?1?1?1的5组，计算得到答案. 【详解】
4
（1）利用排除法：??55???4=96种.
（2）根据乘法原理得到：共有3×2×2×2×2=48种涂法. （3）若分成2?2?1?1?1的5组，则共有
2???2??75
??22
种分法；
3若分成3?1?1?1?1的5组，则共有??7种分法，
故共有(
2???2??75
??22
3
+??7)???55=16800种放法.
【点睛】
本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
暑假作业11—计数原理A卷解析版
