2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=?x,y?x,y?N*,y?x，B=??x,y?x?y?8?，则AB中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数A. ???1的虚部是 1?3i3 101B. ?
101C.
103D.
10
3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且?pi?1，
i?14则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. p1?p4?0.1,p2?p3?0.4 B．p1?p4?0.4,p2?p3?0.1 C．p1?p4?0.2,p2?p3?0.3 D．p1?p4?0.3,p2?p3?0.2
4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I?t?（t的单位：天）的Logistic模型：I?t??K1?e?0.23?t?53?，其中K为的最大确诊病例数.当It??0.95K时，标志
??着已初步遏制疫情，则t?约为（ln19?3） A.60
B.63 C.66 D.69
5. 设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C:y2?2px(p?0)交于D，E两点，若
OD?OE，则C的焦点坐标为
1A. (,0)
41B. (,0)
2C. (1,0) D. (2,0)
6. 已知向量a,b满足a?5，b?6，a·b??6，则cos(a,a?b)?
31 3519B. ?
3517C.
3519D.
35A. ?
27. 在△ABC中，cosC=，AC?4，BC?3,则cosB?
31A.
91B.
31 22D.
3C.
8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4?42 C. 6?23 D. 4?23
9.已知2tan??tan(??)?7，则tan??
4A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
10.若直线l与曲线y?x和圆x2?y2?A. y?2x?1 B. y?2x?C. y??1都相切，则l的方程为 51 21x?1 211D. y?x?
22
x2y211. 设双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为
ab5. P是C上一点，且F1P?F2P.若△PF1F2的面积为4，则a=
A．1
B．2 C．4 D．8
12. 已知55?84，134?85，设a?log53，b=log85，c?log138，则 A. a?b?c B. b?a?c C. b?c?a D. c?a?b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?0?13. 若x,y满足约束条件?2x?y?0，则z=3x+2y的最大值为_____.
?x?1?214. （x2?)6的展开式中常数项是______（用数字作答）.
x15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____.
116.关于函数f(x)?sinx?有如下四个命题：
sinx①f(x)的图像关于y轴对称. ②f(x)的图像关于原点对称. ③f(x)的图像关于直线x?④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。 17.（12分）
?2对称.
设数列?an?满足a1?3，an?1?3an?4n.
(1)计算a2，a3，猜想?an?的通项公式并加以证明； (2)求数列2nan的前n项和Sn.
18.（12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） 2 5 6 7 16 10 7 2 25 12 8 0 [0,200] （200,400] （400,600] ??（1） 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
（3） 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空
气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的2?2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
空气质量好 空气质量不好 人次?400 人次>400 附：，
19.（12分）
，
BB1上，如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，且2DE?ED1，
2020年全国III卷理科数学高考真题
